У нас уже 21989 рефератов, курсовых и дипломных работ
Заказать диплом, курсовую, диссертацию


Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Понравилось
Не понравилось





Книга жалоб
и предложений

 





Название Обратные задачи для параболический уравнений высокого порядка
Количество страниц 92
ВУЗ МГИУ
Год сдачи 2010
Бесплатно Скачать 23591.doc 
Содержание Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 23

§1. Линейная обратная задача с финальным

переопределением 23

1.1 Решение линейной обратной задачи с помощью

прямого перехода к уравнению составного типа 24

1.2. Решение линейной обратной задачи

с помощью перехода к нагруженному уравнению

составного типа 32

§2. Линейная обратная задача с интегральным

переопределением для одного класса

параболических уравнений высокого порядка 38

2.1 Решение линейной обратной задачи с помощью прямого перехода к уравнению составного типа 38

2.2 Решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению

составного типа 47

2.3 Линейная обратная задача с составным внешним воздействием 55 ДОПОЛНЕНИЕ 1 62

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 63

§1. Обратная задача с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения 63

§2. Обратная задача с неизвестным коэффициентом при решении в случае финального переопределения 76 §3. Обратная задача с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью 82

ДОПОЛНЕНИЕ 2 91

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 92


ВВЕДЕНИЕ

Уравнения параболического типа встречаются во многих разделах математики и математической физики. Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались в восемнадцатом веке. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах - отметим здесь прежде всего работы А.И. Прилепко [37-48], [72], Ю.Е. Ани-конова [1], [55-58], Б.А. Бубнова [11-12], Е.Г. Саватеева [50], Н.Я.

Безнощенко [5-8], Ю.Я. Белова [9-10], Д.Г. Орловского [31-35], И.А. Васина [36], В.Л. Камынина [22-23], В.В. Соловьева [51-53], А. Ло-ренци (Италия) [64-65], [70], Н.И. Иванчова (Украина) [17-21], А.И. Кожанова [67-69] и других.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости линейных и нелинейных обратных задач для параболических уравнений высокого порядка.

Методика исследования. Для поставленных задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Линейная задача исследуется с помощью перехода к локальной краевой задаче для линейного уравнения составного типа и перехода к нелокальной краевой задаче для линейного "нагруженного" уравнения составного типа.

Нелинейная краевая задача исследуется с помощью перехода к нелинейному "нагруженному" уравнению составного типа.

Доказывается существование регулярного решения преобразованной задачи и возможность построения с помощью найденной функции решения исходной обратной задачи.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях обратных задач для параболических уравнений высокого порядка.

Значение работы также определяется прикладной значимостью

исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на:

1. Научно-техническом совете Рубцовского индустриального института АлтГТУ им. И.И. Ползунова (филиал) (2000-2003 гг.)

2. Семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Кожанов А.И.) (Новосибирск 2000-2003 гг.)

3. Семинаре "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Демиденко Г.В.) (Новосибирск 2000-2003 гг.)

4. Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели". Челябинск. 2002.

5. Международной Школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения". Ханты-Мансийск. 2002.

6. На семинаре кафедры математического анализа Стерлита-макского государственного педагогического института (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Сабитов К.Б.) (Стерли-тамак 2004 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено ее основное содержание [24-29].

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на пять параграфов, и списка литературы. Нумерация формул - тройная: первая цифра указывает главу, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы в нем. Объем диссертации составляет 102 страницы, включая список литературы, который состоит из 73 наименований.

Содержание работы

В главе 1 исследуется разрешимость линейных обратных задач для уравнений параболического типа четвертого порядка с неизвестной правой частью.

Пусть Q есть прямоугольник {(ж, t) : 0

щ(х, t) + ихххх(х, t) + 7«(ar, i) = h(x, t)q(x) + f(x, t) (1)

(7 > 0 — заданная постоянная). Рассмотрим задачу одновременного определения решения данного уравнения и правой части.

В подобных задачах задается краевая информация, естественная для соответствующей прямой задачи и информация о дополнительных граничных условиях для функции и(х, t).

В § 1 в качестве дополнительного граничного условия мы выбираем условие

и(а?,Т)=0, 0<ж<1. (2)

Обратная задача: найти функции u(x,t) и q(x), связанные в Q уравнением (1) при выполнении условия (2) и условий

u(0it)=ux(Q,t)=u(l,t)=ux(l1t) = O, 0

u(a;,0) = 0, 0<ж<1. (4)

Для исследования обратной задачи (1)-(4) мы воспользуемся двумя подходами.

Первый подход основан на непосредственном переходе к уравнению составного типа.

Пусть выполняется условие

h(x,t)^0 (x,t)GQ. (5)

Введем обозначения

, ( 4\ ht{x,t)

ихххх + 7«, сх{х, t) = v (,

n[x,t)

Вместо обратной задачи рассмотрим прямую краевую задачу: найти в Q решение уравнения

Lut - а(х, t)Lu = fi(x, t), (6)

удовлетворяющее условиям (2)-(4).
Далее проводится исследование разрешимости краевой задачи (6), (2)-(4).

Обознаим через Я пространство W^iQ) О ?<х>(0,Т; W22(0,1)). Теорема 1. Пусть выполняются условие (5) и условия

7 > 0, a(x,t) > О, at{x,t) < О, axx(x,t) < О, Gxxxxfat) > 0 при (x,t) e Q;

fl(x,t), flx(x,t), flxx{x,t), flXxx{x,t), f\XXXx(x,t) e L2(Q),

/i(o,t) = /i(i,t) - /i*(o,t) = /ix(i,t) = o.

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, что u(x,t) e H, ut(x,t) е Н, q{x) е ^(0,1).

Далее исследуем исходную обратную задачу другим методом -методом, основанным на переходе к нелокальной краевой задаче.

Пусть теперь выполняется условие

Цх,Т)^0 х €[0,1]. (7)

Вычислим функцию q(x), положив в уравнении (1) t = Т:

щ(х,Т) - f(x,T)

_

h(x,T) Положим

С учетом этих обозначений получаем уравнение

Щ + ихххх + ju = a(x, t)ut(x, Т) + F{x, t). (Г)
В уравнении (1') положим t = 0. Получим равенство:

щ(х,0) =a(x,0)ut{x,T) + F(x,0). (8)

Далее продифференцируем уравнение (1') по переменной t; если ввести обозначение v(x, t) — ut(x, t), получим уравнение для функции v

Щ + vxxxx + 7^ = at(x,t)v(x,T) + Ft(x,t). (9)

Рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (9), удовлетворяющее условиям (2), (3), (8).

Уравнение (9) в литературе принято называть "нагруженным" уравнением [30], условие (8) есть нелокальное условие — условие, связывающее значения решения v(x,t) в различных точках границы.

Таким образом, краевая задача (9), (2), (3), (8) представляет собой нелокальную краевую задачу для "нагруженного" параболического уравнения.

В п.1.2 § 1 именно с помощью решения v(x,t) этой краевой задачи и будет построено решение и(х, t),q(x) исходной обратной задачи.

Теорема 2. Пусть выполняются условия: а(х, 0) ? Р^(0,1), F(z,0) G W${0,1), at(x,t) e ?«>№), Ft(x,t) e L2{Q), а также одно из условий

7>0, ||a(x,eo(|)
7>0, ||a(^0)i||oo(0il) + 2T||af(a:,0llL(Q) < 1; (П)

7 > 0, ||aM)HL(o,i) + f IM*.*)|lLw) < !• (12)

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, что u(x,t) 6 Я, щ(х,г) е Ну q{x) в Loo(0,1).

Задача, которая будет исследоваться в § 2, также относится к классу линейных обратных задач, то есть таких задач, в которых вместе с решением неизвестной является и правая часть. Для нахождения правой части предлагается дополнительное условие -условие интегрального переопределения. Данная задача исследуется путем перехода к прямой задаче для нового уравнения.

В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение (1) и краевую задачу для него: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3), (4). В качестве дополнительного условия переопределения мы выбираем следующее

a(t)u(x, t)dt = 0,0 < х < 1. (13)

Пришли к обратной задаче: найти функции u(x,t) и д(#), связанные в Q уравнением (1), при выполнении условий (3), (4), (13).

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу: найти функцию v{x,t), являющуюся в Q решением уравнения

vxxxxtt - а(х, t)vxxxxt + A(x, t)vtt + B(x, t)vt = F^x, t), (14)
удовлетворяющую условиям

«(О,*) - v{l,t) = tfe(O,t) = t7x(l,t) = О,

v(x, 0) = vt(a?, 0) = 0, v(x, T) = 0, (15)

где a(x,t), A(x,t),B(x,t),Fi(x,t) - заданные функции. Заметим, что (14) есть уравнение составного типа. Обозначим через V множество функций v(x,t) таких, что v €

W?(Q)i Vxxxx € L2{Q), Vxxxxt 6 L2(Q), Vxxxxtt G ^2(Q) И ДЛЯ НИХ ВЫПОЛНЯЮТСЯ условия (6). Очевидно, что V есть банахово пространство; норму в V можно ввести равенством

IMIv = (\HwHQ) + JQlvZ*xx + 4xxxt +

Теорема 3. Пусть выполняются условия

a{x,t) € C\Q), A(x,t) € C\Q), B(x,t) в C2{Q), , Flx e L2(Q),

Fixx e L2(Q), Fi(0,t) € Fi(l,t) = Fla:(O,t) = FljB(l,t) = 0;

a(x,^) > 0,Ом.(ж,*) < 0 при х е [0,1];

oi + Л*(ж, 0 + Bt(x, t) < 0 при (ж, ?) e Q;

Л(ж,^) > a0 > 0 при (ж,^) G <5-

Тогда задача (14)-(15) имеет решение v(x,t), принадлежащее пространству V.

В п.2.2 § 2 исследуется решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению составного типа.
Вернемся к обратной задаче (1), (3), (4), (13). Введем обозначения

,

a(t)

2a'(t) ht{x,t)

~1 a(t) h(x,t)'

a'{t)ht(x,t) a'(t) ht(x,t)

a(t)h(x,t) T* a(t) 7< h(x,t)

Теорема 4. Пусть относительно введенных функций a(x,t), A(x,t), B(x,t) и Fi(x,t) выполняются все условия теоремы 3 и условия a(t) > «о > О» h(x,t) > hy > 0. Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение u(x,t),q(x) такое, что u(x,t) G V, Wt(a;, ?) G V,

g(a;)€Loo(0,l).

Покажем теперь, что обратная задача (1), (3), (4), (13) может быть исследована и иным методом - методом, основанным на переходе к так называемым "нагруженным" параболическим уравнениям. Введем обозначения:

fi(x,t) = Jo a(T)f{x,r)dr, h\(x,t) — a(T)h(x,r)dr, P(x,t) =

F(x,t) = f(x,t)

/o

h(x,t) hi{x,TY h(x,i)h(x,T)

hi{x,T)
Теорема 5. Пусть выполняется условие

Нг{х,Т)фО (16)

и условия

27 - 3Tmax[a(T)0(x, t)]2 > 0, (17)

72 - 3Tmax[(3(x,t)]2 f a'2{t))dt > 0. (18)

Тогда обратная задача (1),(3), (4), (13) имеет решение u(x,t) 6 H,q{x)eL2(0,l).

В п. 2.3 § 2 гл. 1 исследуется разрешимость обратной задачи с составным внешним воздействием.

В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение с неизвестной правой частью.

щ(х, t) + uxxxx(x, t) + ju(x, t) =

= $i(a?)MM) + q2{x)h2(x,t) + f{x,t), (19)

где 7 > 0 - заданное положительное число.

В качестве дополнительных условий переопределения выбираем следующие:

HP

ai(t)u(x,t)dt = O, ( a2(t)u(x,t)dt = 0. (20)

JO

В результате приходим к обратной задаче: найти функции u(x,t), qi(x) и q2(x), связанные в Q уравнением (19), при выполнении условий (3)-(4).
Покажем, что обратная задача (19), (3), (4) может быть исследована методом, основанном на переходе к "нагруженным" параболическим уравнениям. Введем обозначения:

гТ

fl fl

Pn{x) — I ai(t)hi(x,t)dt, (3u(x) = I a\(t)h2(x,t)dt,

rp rp

/^21 {x) — I a2(i)hi(x,t)dt, (322(x) = / a2(t)h2(x,t)dt.

/i(a:) = f* ai{t)f(x,t)dt, h(x) = ? a2(t)f(x,t)dt.

a2(x,t)= h2^l)

Pn(x){322(x) - /312(x)j321(x)' Теорема 6. Пусть выполняется условие

0u(x)fci(x) - /З12(х){321(х) ф 0. (21)

и условия

72 - T[

72 - T[max \a\(x, t)(3222{x) j* d?(t)dt\-

rp

-mgx\al(x,t)f32l2{x)JQ o!}(t)dt\+

rp

max.\c%(xit)Pl1(x)fQ a'i{t)dt\-

rp

- max \a\{x, t)^(яг) fQ d?{t)dt\] > 0 (22)

27 - Г[тах \a\{x, t)(3222{x)a\{T)\ - max \a\{xt t)/3J2{x)a22(T)\+

m&x\a2(x,t)(322l(x)a\(T)\] > 0 (23)

Тогда обратная задача (19), (3), (4) имеет решение u(x,t) ? Я,

Глава 2 посвящена исследованию разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений четвертого порядка.

В § 1 главы 2 исследуется разрешимость обратной задачи с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения.

Обратная задача: найти функции u(x,t) и q(x), связанные в прямоугольнике Q уравнением

щ (я, t) + uxxxx(x, t) + q(x)u(x, t) + чи(х, t) = f(x, t), (24) при выполнении условий

u(x,0) = 0, же (0,1), (25)

u(0,t) = v?oM> «(1,*) = (Pi(t),

««(0,*) = Фо(*), 1^(1,*) = ^1(*), *€(0,Г), (26)
jn(t)u(x,t)dt ~ щ(х), х е (0,1). (27)
Данную обратную задачу в литературе принято называть "обратной задачей с интегральным переопределением". Всюду ниже будем считать выполненным условие

щ{х) >к>0, же [ОД]. (28)
Определим функции и постоянные, которые понадобятся нам при исследовании разрешимости нашей обратной задачи.

Список литературы
Цена, в рублях:

(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)		 1425
Скачать бесплатно 23591.doc 





Найти готовую работу


ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:


Связаться

Доставка любой диссертации из России и Украины

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ


Ссылки:

Выполнение и продажа диссертаций, бесплатный каталог статей и авторефератов

Счетчики:

Besucherzahler
счетчик посещений

© 2006-2024. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.