Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Перечисление квадрик и симметричный форм модулей над локальными кольцами

У нас уже 21989 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Перечисление квадрик и симметричный форм модулей над локальными кольцами

Количество страниц	52

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23574.doc

Содержание	Содержание Введение 3 Наиболее употребительные обозначения 9 Глава 1. Проективные пространства, ассоциированные со свободными модулями 10 §1.1. Группа проективных преобразований и некоторые ее инварианты... 10 §1.2. Основная задача теории квадрик ... 14 Глава 2. Каноническая форма над локальными кольцами главных идеалов 17 §2.1. Диагонализируемость симметричных матриц над локальными кольцами главных идеалов... 17 §2.2. Конгруэнтные преобразования канонических матриц и ортогональная группа... 24 §2.3. Нормальная диагональная форма при \R* : R2\ < 2 . 29 §2.4. Распространение закона инерции вещественных квадратичных форм... 32 Глава 3. Перечисление квадрик проективных пространств над локальным кольцом 36 §3.1. Теорема о перечислении классов проективно конгруэнтных квадрик проективного пространства ... 36 §3.2. Перечисление классов проективно эквивалентных квадрик проективной плоскости ... 39 §3.3. Случай не главного максимального идеала ... 44 Список литературы 52 Введение Важным источником функций над полями и кольцами и различных задач комбинаторного анализа традиционно являются билинейные формы и билинейные функции векторных пространств и модулей, квадратичные формы и соответствующие квадрики проективных пространств [16], [7], [9], [19], [17]. В диссертации исследуются квадрики проективных пространств над локальными кольцами, рассматривается одна из основных в теории квадрик задача (А) Классифицировать и перечислить квадрики проективного пространства с точностью до проективностей или проективных конгруэнтно>стей. Теории симметричных и квадратичных форм векторных пространств и квадрик (или геометрических образов второго порядка) проективных пространств над полем развивались взаимосвязано и достаточно хорошо разработаны. Изучение произвольных рефлексивных форм над полем сведено к изучению невырожденных рефлексивных форм, а последние классифицированы вместе с симметричными и кососимметричными (симплектическими) формами, [1, гл. 3], [12, 41.1]. Наряду с развитием /^-теории, в исследованиях проективных пространств возрастал интерес к переходу от полей к более общим кольцам коэффициентов. В более общей ситуации исследуются (проективные) линейные группы и проективности, обобщается основная теорема проективной геометрии, [15], [14] и др. Бенц [2, гл.1] рассматривает классические геометрии Мебиуса, Ла-герра и Минковского как проективные прямые над ассоциативно-коммутативными алгебрами; указаны геометрические интерпретации таких проективных прямых в евклидовом пространстве. Естественно, что квадрики исследуются взаимосвязано с квадратичными формами и их матрицами. В [13, § 3] устанавливается существование ортогонального базиса "сильно невырожденной" симметричной формы на модуле над локальным кольцом с обратимым элементом 2. В то же время, при переходе к таким кольцам коэффициентов определяющая роль симметричных форм с обратимой матрицей утрачивается, а число всех классов проективно эквивалентных квадрик, как правило, существенно превосходит число классов с "сильно невырожденными" квадриками. Поэтому целесообразно (Б) Выявить локальные кольца, над которыми любая симметричная матрица конгруэнтна диагональной матрице. Конгруэнтными к А называют (исходя из конгруэнтности квадратичных форм) матрицы QAQT с обратимыми матрицами Q. Недиа-гонализируемую по конгруэнтности симметричную матрицу над локальным кольцом указывает пример 1.2.1 в § 1.2 диссертации (другие примеры см. в § 3.3 ). Отметим, что матрицы произвольной фиксированной билинейной формы на модуле образуют класс эквивалентных матриц; эквивалентными к А считаются матрицы PAQT с всевозможными обратимыми матрицами Р, Q. Диагонализируемость и нормальный вид относительно эквивалентности матриц над кольцами главных идеалов устанавливаются в [3, глава 15]. В случае колец коэффициентов из (Б) требуется также (В) Установить (единственную) "нормальную" диагональную форму в классах конгруэнтных симметричных матриц. Рассматриваемые в диссертационной работе задачи тесно связаны с функциями над кольцами, перечислительными задачами и некоторыми комбинаторными вопросами. В § 1.1 главы 1 приводятся предварительные (известные) сведения о проективных пространствах, вводятся проективности и проективные линейные преобразования. Там же приведено обобщение классической основной теоремы проективной геометрии [15]. Ее следствием является факторизуемость группы проективных преобразований проективного пространства двумя стандартными подгруппами (лемма 1.1.3). В § 1.2 вводятся понятия, связанные с квадриками, обсуждаются основная задача теории квадрик и соответствующие вопросы для симметричных форм и их матриц. Показывается, что при переходе от полей к более общим кольцам коэффициентов симметричные формы с обратимой матрицей перестают играть определяющую роль в описании всех симметричных форм. Главные результаты, связанные с задачей (А), устанавливаются в главе 3. Через R обозначается мультипликативная группа обратимых элементов кольца R. Пусть пд(т) — совокупность всех упорядоченных наборов (щ,... ,пд) целых чисел rtj > О с суммой т. Число ( ) по определению, равно ( ) для целых чисел р > q > О V Я J \ Я ) и равно 0 в других случаях. Следующая теорема о перечислении классов проективно конгруэнтных квадрик доказана в § 3.1. Теорема 3.1.1. Пусть N(n,s) — число классов проективно конгруэнтных квадрик пространства RPn-\ (n > 2) над локальным кольцом R с нилъпотентным ступени s главным максимальным идеалом, причем 2 G R* и \R* : R2\ = 2. Тогда число N(n,s) соответственно случаям R П (1 + R2) п min{m,s} / . / /о 1 \ ' / 1 ^> v^ I s \ „„_1 г I т/2 — 1 \ . / т - 1 / /о 1 \ ' 1 if m/2~1 i Ч я-i ) m=l g=l ^ * ' ^ ' {Lnu...,nq)^q{m) В определенных случаях (например, при R = Zpd) доказанная теорема дает и число классов проективно эквивалентных квадрик. Более точно, если кольцо R с максимальным идеалом J = (е) выбрано так, что элементы е и ке для фиксированного обратимого неквадрата к неавтоморфны в R, то по основной теореме проективной геометрии отношения проективной конгруэнтности и проективной эквивалентности квадрик совпадают и число классов проективно эквивалентных квадрик также равно N(n, s) (предложение 3.1.2). Для проективной плоскости оставшийся случай рассматривает Теорема 3.2.1. Пусть N есть число классов проективно эквивалентных квадрик проективной плоскости RP2 над локальным кольцом R с нилъпотентным ступени s главным максимальным идеалом J = (е). Допустим, что 2 Е R-, \R : R2\ = 2 и элементы ? и ке в кольце R автоморфпы для обратимого неквадрата к. Тогда число N соответственно для четного или нечетного числа s равно (s(5s2 + 15s + 28))/12 или (5s3 + 15s2 + 31s - 3)/12 при RC\(1 + R2) $? R2, а при l + R2 С R2 соответственно равно (s(5s2 + 21s + 28))/12 или (5s3 + 21s2 + 31s + 3)/12. Эта теорема опубликована автором в [28]; приводимая там же теорема 3.1.1 доказана в нераздельном соавторстве с В.М. Левчуком. Названные результаты существенно используют полученное в главе 2 решение задачи (В) для определенных случаев основного кольца. Основная в § 2.1 теорема 2.1.2 устанавливает диагонализируе-мость симметричных форм и их матриц над локальным кольцом R главных идеалов с обратимым элементом 2 (такие кольца рассматриваются в примерах 2.1.8, 2.1.9 и лемме 2.1.3). Она показывает конгруэнтную приводимость симметричных матриц над R к специальному диагональному виду — каноническому (определение 2.1.1) - и выявляет некоторые инварианты. В частности, при R2 = R* канонический вид единственен и, если максимальный идеал в R ниль-потентен ступени s, то число классов как конгруэнтных так и экви- / s + n\ валентных п х n-матриц над R равно I J (следствие 2.1.5 и замечание 2.1.10). Вопрос построения "нормального" диагонального вида матриц по конгруэнтности при \R* : R2\ > 1 оказывается более сложным. Здесь существенно используется лемма 2.2.3 о матрице, преобразующей конгруэнтно друг в друга канонические диагональные матрицы над локальным кольцом главных идеалов. С ее помощью выявляется строение ортогональной группы квадратичной формы (теорема 2.2.1). С другой стороны, при \R : R2\ = 2 и наличии обратимого неквадрата к в 1 + R2 выявляется нормальный вид eV- ,е{ ,.-. ,5тет,ет,-" ,ет ,0,-. ,0), (0.1) где каждый элемент Si, • • • ,5т равен 1 или &. В § 2.3 доказана Теорема 2.3.1. Пусть R есть локальное кольцо с обратимым элементом 2 и главным максимальным идеалом J = (е), причем \R : R2\ = 2, 1 + J С R2 и R* П (1 + R2) Далее. Закон инерции вещественных квадратичных форм удается распространить на случай локальных колец коэффициентов, в которых обратимые квадраты образуют полугруппу по сложению. Более точно, для квадратичных форм над такими кольцами в § 2.4 выявляется следующий "нормальный" вид где q > 0, 0 < г\ < • • • < iq, elq ф 0, целые положительные числа гу и целые Sj такие, что г\-\---\-rq < гс, 0 < s\ < ri, • • • , 0 < sq < r?. Теорема 2.4.1. Пусть R есть локальное кольцо с обратимым элементом 2 и главным максимальным идеалом J = (e), причем \R* : R2\ = 2, 1 + Л2 С R2 и 1 + J С R2. Тогда всякая ненулевая квадратичная форма над R приводится к диагональному виду (0.2) обратимым R— линейным преобразованием неизвестных, причем показатели г1, • • • , гя и целые числа г\, - - ¦ ,rq, si, • • • , sq не зависят от способа приведения. Именно, теоремы 2.3.1 и 2.4.1 о нормальной форме лежат в основе доказательства в главе 3 теорем 3.1.1 и 3.2.1 (см. выше) о перечислении классов проективно конгруэнтных и проективно эквивалентных квадрик. Условие 1 + J С R2 в теоремах 2.3.1 и 2.4.1 не является жестким, как показывает предложение 2.1.7, и выполняется, например, когда J - ниль-идеал. Полученные результаты позволяют классифицировать недиаго-нализируемые квадратичные формы и перечислять квадрики также над локальным кольцом с конечно порожденным, но не главным максимальным идеалом. Пусть R — фактор-кольцо кольца формальных степенных рядов от х,у над конечным полем нечетного порядка по идеалу < х2,ху,у2 >, порожденному всеми однородными многочленами второй степени. Тогда R есть локальное кольцо с максимальным идеалом J =< х,у >. Основной в § 3.3 является Теорема 3.3.1. Всякая квадрика проективной плоскости либо диагонализируема, либо имеет ранг 0, либо лежит в одном из 2 классов проективно эквивалентных недиагонализируемых квадрик ранга 1. Всякая диагонализируемая квадрика проективно эквивалентна, в точности, одной из 20 (явных) квадрик, у которых либо ранг < 3, либо матрица единична. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]— [29]. Результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательских семинарах Красноярского госуниверситета (г. Красноярск) и Института математики СО РАН (г. Новосибирск). Они были представлены на VI — X конференциях аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета (Магадан, 1999 — 2003 гг.), на 2-ом Всесибирском конгрессе женщин — математиков (Красноярск, 2002 г.) и на международных конференциях: "Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках" (Чебоксары, 2001 г.), "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002 г.), "Intermediate problems of Model Theory and Universal Algebra" (Novosibirsk — Erlogol, 2003). Автор благодарен своим научным руководителям, к.ф.-м.н., профессору К.Я. Гиберту за помощь при постановке задач и в подготовке первых работ, и д.ф.-м.н., профессору В.М. Левчуку, существенно содействовавшему разрабатыванию темы. Признательна сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и факультета математики и информатики Красноярского госуниверситета за хорошие условия для работы над диссертацией во время приездов в КрасГУ в 2002 - 2003 гг. Частично работа над диссертацией была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, код гранта 03-01-00905. Наиболее употребительные обозначения В работе зафиксированы следующие обозначения: R — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей; GLn(R) — общая линейная группа степени п над кольцом R; PGLn(R) — проективная общая линейная группа степени п над кольцом R; Ат — матрица, транспонированная к матрице А; diag (ai,a2,... ,an) ~ диагональная матрица с элементами а\, п2, ..., ап на главной диагонали; R* и Л2 = {а2 \| a G R} — мультипликативная группа обратимых элементов кольца R и, соответственно, ее подгруппа квадратов; \R* : R2\ — индекс подгруппы R2 в группе Л; RPn-i — проективное пространство (при п = 3 также проективная плоскость) над кольцом R (см. §1.1 ). Глава 1. Проективные пространства, ассоциированные со свободными модулями В этом разделе приводятся предварительные сведения о проективных пространствах. В § 1.1 приведена обобщенная основная теорема проективной геометрии [15]. Ее важным следствием является факторизуемость группы проективных преобразований проективного пространства двумя стандартными подгруппами (лемма 1.1.3). В § 1.2 вводятся понятия, связанные с квадриками, и обсуждается основная задача теории квадрик, а также соответствующие вопросы для симметричных форм и их матриц. Показано, что при переходе от полей к более общим кольцам коэффициентов невырожденные симметричные формы перестают играть определяющую роль в описании всех симметричных форм. §1.1. Группа проективных преобразований и некоторые ее инварианты Классическая основная теорема проективной геометрии над полем распространена в [15] на проективное пространство, ассоциированное со свободным модулем конечного ранга. Нам потребуются соответствующие понятия и результаты. Всюду далее основное кольцо R коэффициентов является ассоциативно-коммутативным и содержит единицу. Через R обозначается мультипликативная группа обратимых элементов кольца R. Проективным пространством, ассоциированным со свободным R-модулем М называют множество Р(М) всех ^-свободных прямых слагаемых ранга 1 модуля М. Каждое такое слагаемое представ-ляетя в виде Re с элементом е из М, на котором подходящая Л—линейная функция на М принимает значение 1 (унимодулярный элемент). Определение 1.1.1. Пусть М и N — свободные модули над коммутативными кольцами А и В соответственно. Отображение а : Р(М) —> P(N) называется проективностью, если оно биективно и ар\ С оср2 + аръ в N тогда и только тогда, когда Р\ Ср2+Ръ в М для всехр\,р2,рз G Р(М). Предположим сейчас, что в предыдущих обозначениях а : А —> В — кольцевой гомоморфизм. Отображение Ф : М —>¦ N называется (j-полулинейным, если оно аддитивно и Ф(ат) = а(а)Ф(т) (а е А,т е М). Индуцированное отображение Р(Ф) : Р(М) —> P(N) ассоциированных проективных пространств получим, полагая Р(Ф)(Ае) = ВФ(е) для всякого унимодулярного элемента е модуля М. Следующая, обобщенная основная теорема проективной геометрии доказана в [15]. Теорема 1.1.2. Пусть М и N — свободные модули конечного ранга > 3 над коммутативными кольцами А и В соответственно. Если а : Р(М) —> P(N) — проективность, то существует изоморфизм а : А —> В и а-полулинейный изоморфизм Ф : М —> N такие, что а = -Р(Ф). Если <т,- : Л —» В — изоморфизм и Ф{ : М —> N есть а{-полулинейный изоморфизм, i = 1,2, причем Р(Фг) = Р(Ф2), то о~\ = а-2 и существует такое Ъ G В, что Ф\ — ЬФ\. Отметим, что проективности проективного пространства на себя, называемые также его проективными преобразованиями, по умножению образуют группу. Пусть V — свободный /^-модуль конечного ранга. Проективные линейные (или <7-полулинейные при а = 1) преобразования проективного пространства P(V) по умножению образуют группу RT(V), изоморфную группе PGL(V) - факторгруппе группы GL(V) обратимых линейных преобразований V по ее центру, см. также [14]. Через RA(V) обозначим группу автоморфизмов проективного пространства -P(V), которые индуцированы автоморфизмами основного кольца R. Ясно, что RA(V) и KT(V) являются подгруппами группы проективных преобразований проективного пространства P(V), причем RT(V) есть нормальная подгруппа. Бо- лее того, из теоремы 1.1.2, в частном случае, когда А = В = R и М = N = V, вытекает Лемма 1.1.3. Группа проективностей проективного пространства P{V) совпадает с произведением подгруппы RT(V) на RA(V). Пусть далее V — свободный Я-модуль ранга п. Его векторы будем задавать координатами относительно фиксированного базиса. Унимодулярные векторы над R — это векторы v = (г>1,..., vn), координаты которых порождают единичный идеал кольца i?, то есть ,..., vn) = Rvi + Rv2 H--Rvn = R. Между унимодулярными над R векторами определено отношение (vi,...,vn)~(ub...,un)<* 3t G R* v{ = гщ ViG{l,...,n}, (1.3) являющееся отношением эквивалентности. Когда R — локальное кольцо, это позволяет определить ассоциированное с V проективное пространство более явно. Классы эквивалентности (или элементы фактормножества) по отношению " ~ " множества унимодуляр-ных над R векторов, по определению, являются точками ассоциированного с V проективного пространства RPn-\ над кольцом R. Пространство RP2 называют также проективной плоскостью. Далее обозначение v = (t>i,..., vn) используется как для вектора v G. V, так и для класса эквивалентности с представителем v. Проективные линейные преобразования проективного пространства RPn-i можем задавать обратимыми п х п матрицами U над R по правилу: v н> vll {у Е RPn-\). Вместо RT(V) будем писать Ш\г_1. Аналогично, вместо RA(V) пишем RAn-\. Лемма 1.1.3 дает возможность заключить, что любое проективное преобразование проективного пространства RPn-i есть композиция автоморфизма проективного пространства RPn_\, индуцированного автоморфизмом основного кольца R, и проективного линейного преобразования v н-> vU (v 6 RPn-i), сопоставляемого некоторой матрице U G GLn(R). При этом участвующий автоморфизм основного кольца определен однозначно, а матрица U — с точностью до обратимого множителя. 13 Каждой точке а из RPn-\ соответствует гиперплоскость {v e RPn-i I vaT = 0}, (1.4) где Г - оператор транспонирования матриц. Указанное соответствие является взаимно однозначным и устанавливает принцип двойственности между множеством точек и множеством гиперплоскостей в RPn-\. В частности, точкам проективной плоскости RP2 по принципу двойственности соответствуют проективные прямые. Заметим, что поскольку отношение инцидентности точек и прямых проективного пространства RPn-\ сохраняется при проектив-ностях, то оно является инвариантом относительно группы проек-тивностей пространства. Также инвариантом является отношение смежности точек, вводимое следующим образом. Точки и и v проективного пространства RPn-\ называем смежными относительно собственного идеала Т кольца R или, кратко, Т-смежными, если они имеют один и тот же образ при гомоморфизме проективных пространств RPn-\ —> (i?/T)Pn_i, индуцированном естественным кольцевым гомоморфизмом R —> R/T. Если Т лежит в идеале J, то Т-смежные точки являются также и J-смежными. Точки, не являющиеся смежными ни по какому собственному идеалу кольца R, называются несмежными. Важное свойство несмежных точек выявляет Лемма 1.1.4. Любые две несмеэюпые точки проективной плоскости RP2 над локальным кольцом R инцидентны единственной прямой. Доказательство. Условие смежности точек и и v из RPn-\ по идеалу J очевидно равносильно включению в J всех определителей Поэтому для несмежных точек и = («1,«2)^з) и v = (vi, 7/2,^3) проективной плоскости RP-2 хотя бы один из элементов не лежит в J. В силу унимодулярности и хотя бы одна из координат щ также не лежит в J, скажем, щ G R\J. Допустим сейчас, что R есть локальное кольцо с максимальным идеалом J. Тогда R* = R\ J Э щ и, по крайней мере, один из элементов #2>^з должен быть обратимым в 7?; иначе получим смежность точек и и v по идеалу J, вопреки их выбору. Предполагая, что #з ? R* (случай #2 G R* рассматривается аналогично), исследуем систему линейных уравнений = О, s = О, относительно неизвестных а\,а2,а^. Для произвольного t G R система имеет единственное решение с аз = t: S15 а3 = t. Когда t G R, получаем единственнную точку а = (04,0^)^3) на проективной плоскости RP-2, определяющую по правилу (1.4) проективную прямую, инцидентную точкам и и v. Лемма доказана. §1.2. Основная задача теории квадрик Квадрикой проективного пространства RPn-i называется множество (или проективное многообразие) 7 = 7л его точек v7 определяемых уравнением vAvT = 0 (1.5) для произвольной ненулевой п X n-матрицы А над R с условием симметричности А = Ат. Две квадрики (аналогично, квадратичные формы) называем проективно эквивалентными, если первая из них переводится во вторую проективным преобразованием. В случае, когда такое преобразование можно выбрать линейным, скажем, с матрицей Q, их называем проективно конгруэнтными, также как и соответствующие матрицы А и QAQT. К одной из основных в теории квадрик относится следующая задача: (А) Классифицировать и перечислить квадрики проективного пространства с точностью до проективной конгруэнтности или с точностью до проективной эквивалентности. Существенно, чтобы результаты перечислений выражались либо численно, либо в терминах комбинаторных сумм и стандартных комбинаторных функций, см. [16], [20], [19], [7], [17], [8]. Естественно, что квадрики классифицируются взаимосвязано с исследованием симметричных форм и их матриц. Решение задачи (А) тесно связано с решением проблемы диагонализируемости относительно конгруэнтности симметричных форм и матриц. "Сильно невырожденная" симметричная форма на модуле над локальным кольцом с обратимым элементом 2, как показано в [13, § 3], всегда допускает ортогональный базис; это равносильно конгруэнтности матрицы такой формы (матрица Грама) диагональной матрице. "Сильная невырожденность" формы на свободном модуле конечного ранга равносильна обратимости ее матрицы; существенность этого условия показывает следующий пример. Пример 1.2.1. Пусть R есть кольцо формальных степенных рядов от переменных х, у над полем или его фактор-кольцо по степени > 2 максимального идеала. Тогда R есть локальное кольцо с максимальным идеалом J = (х,у). Покажем, что симметричная матрица ( х ij \ А = I "i 1 недиагонализируема. Достаточно рассмотреть случай J2 = 0, поскольку конгруэнтность матриц сохраняется при гомоморфизмах основного кольца. Предположим противное, то есть для а Ь с d является диагональной. Вместе с А она лежит над идеалом J. Следовательно, существуют элементы /, # ? J, для которых некоторой обратимой матрицы Q — ( " и. ) матрица Q XA{Q 1)T Q-diag{f,g)-QT = A', fa2+gb2 = x, fc2+gd2 = 0, fac+gbd = Отсюда, в силу унимодулярности строк матрицы Q, идеалы (/) и (д) инцидентны и, кроме того, один из них совпадает как с идеалом (х) так и с идеалом {у}. Поэтому (х) = (у); противоречие. Следовательно, матрица А не конгруэнтна диагональной матрице. Таким образом, симметричная матрица над локальным кольцом (с обратимым элементом 2 ) и, следовательно, соответствующая симметричная форма не всегда являются диагонализируемыми. С другой стороны, определяющая роль симметричных форм с обратимой матрицей утрачивается при переходе к локальным кольцам коэффициентов. В частности, с помощью леммы 2.3.4 несложно строятся проективные пространства ( в том числе, над локальными кольцами главных идеалов и индексом \R : R2\ = 2 ), для которых общее число классов проективно эквивалентных квадрик является значительным, по сравнению с числом классов "сильно невырожденных" квадрик, и их исследование оказывается естественным. Так, проективная плоскость над кольцом дуальных чисел из примера 3.1.2 в § 3.1 обладает единственной, с точностью до проективной эквивалентности, квадрикой с обратимой матрицей, а всего имеет 13 классов проективно эквивалентных квадрик с присущей каждому классу спецификой геометрических инвариантов, представленных там же в таблице. Естественно возникает задача: (Б) Выявить локальные кольца, над которыми любая симметричная матрица конгруэнтна диагональной матрице. В случае колец коэффициентов из (Б) целесообразно (В) Установить (единственную) "нормальную" диагональную форму симметричных матриц. Задачи (А) - (В) исследуются в следующих главах. В главе 3 рассматриваются некоторые инварианты квадрик, к которым, как обычно, относится и ранг квадрики, причем рангом квадрики над локальным кольцом R с максимальным идеалом J называется ранг образа определяющей ее симметричной матрицы при кольцевом гомоморфизме R —> R/J. Глава 2. Каноническая форма над локальными кольцами главных идеалов В этой главе квадратичные формы вместе с симметричными п X n-матрицами классифицируются для случая, когда основное кольцо есть локальное кольцо главных идеалов. В § 2.1 устанавливается диагонализируемость симметричных форм и их матриц над локальными кольцами главных идеалов с обратимым элементом 2; рассматриваются типичные примеры таких колец. Вводится также специальный канонический диагональный вид, используемый в дальнейшем для построения (единственного) "нормального" вида матриц. Теорема 2.2.1 в § 2.2. выявляет строение ортогональной группы О ((р, R)- Основной для доказательства этой теоремы является лемма 2.2.3, которая, кроме того, устанавливает единственность в теореме 2.3.1. В § 2.3. исследованы условия конгруэнтности диагональных матриц в случае \R : R2\ < 2 при ограничении R П (1+ R2) $. R2. В § 2.4 закон инерции вещественных квадратичных форм распространяется на случай локальных колец коэффициентов, в которых обратимые квадраты образуют полугруппу по сложению. §2.1. Диагонализируемость симметричных матриц над локальными кольцами главных идеалов В этом параграфе устанавливается диагонализируемость симметричных форм и их матриц над локальными кольцами главных идеалов с обратимым элементом 2; рассматриваются типичные примеры таких колец. Вводится также специальный канонический диагональный вид, используемый в дальнейшем для построения (единственного) "нормального" вида матриц. Пусть R есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом (е). Через Mr далее обозначается фиксированная система представителей смежных классов группы R* по подгруппе R*2, содержащая единицу кольца R.

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23574.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

03.11.24 Лексикографический анализ единиц поля

03.11.24 Из истории слова гость и его производных

03.11.24 Семантическое поле гость в русском языке

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2024. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.