Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Об устойчивости движения неконсервативнык систем со связями

У нас уже 21989 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Об устойчивости движения неконсервативнык систем со связями

Количество страниц	86

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23167.doc

Содержание	Содержание Введение 4 Глава 1. Постановка задачи. Простейшие механические модели 1.1 Описание основной механической системы и постановка задачи... 12 1.2 Неустойчивость движения одного конька... 13 1.3 Реализация связей и диссипативный момент... 19 1.4 Движение двух последовательно соединенных коньков 26 1.5 Влияние диссипативного момента на устойчивость движения... 34 Глава 2. Неустойчивость движения п транспортируемых коньков 2.1 Движение п последовательно соединенных коньков . . 39 2.2 Предельный переход при п —> со... 52 Глава 3. Стабилизация движения п транспортируемых коньков 3.1 Влияние диссипативного момента на устойчивость движения... 58 2 3.2 Влияние сил упругости на устойчивость движения . . 62 3.3 Влияние демпферов в шарнирах на устойчивость движения ... 65 Глава 4. Устойчивость положений равновесия систем с диссипацией 4.1 Обращение теоремы Лагранжа-Дирихле и асимптотические движения... 71 4.2 Постановка задачи ... 73 4.3 Неголономные системы с диссипацией... 74 4.4 Голономные системы с частичной диссипацией ... 78 Заключение 84 Литература 86 Введение Существует целый ряд практических задач о движении цепочек твердых тел в среде с сопротивлением или же на шероховатой поверхности. Этот класс задач механики относится к разделу динамики систем многих тел (multibody dynamics [1,2]). Актуальность исследования динамики многозвенных систем обусловлена большим прикладным значением в таких отраслях как робототехника, транспортные системы, физика полимеров [3-10]. В настоящей работе основное внимание уделяется вопросам устойчивости движения цепочек тел. При некоторых ограничениях относительно формы тел, входящих в цепочку, а также на характер действующих сил, рассматриваемая система может допускать прямолинейное движение цепочки как твердого тела. Вместе с тем, в реальных технических системах очень часто данное движение оказывается неустойчивым. Похожие явления наблюдаются также при движении тросовых систем (Рис. 0.1), которые можно рассматривать как предельный случай движения цепочек твердых тел при п —>¦ со, где п количество звеньев. Пример потери устойчивости прямолинейного движения тросовой системы, созданной для исследования атмосферы Марса учеными Московского авиационного института, приводится в работе С.Д. Фурты [12]. Система состояла из переносимого ветром аэростата и цепочки твердых тел конической формы, прикрепленной к гондоле аэростата с помощью троса. На практических испытаниях, проводимых на Земле, оказывалось, что когда аэростат двигался с достаточно большой скоростью, цепочка тел совершала значительные поперечные колебания, что приводило к неустойчивости движения всей системы. В статье [12] неустойчивость объяснялась непостоянством коэффициента трения в зависимости от точки плоскости, по которой двигалась связка последовательно соединенных твердых тел. Другой пример подобной системы содержится в книге Р. Бишопа [13], где описывается явление потери устойчивости длинной эластичной емкости, заполненной нефтью. Здесь также оказывалось, что при определенных скоростях буксира транспортируемая емкость совершала поперечные колебания с большой амплитудой, препятству- ющие движению, однако потерю устойчивости в данной системе нельзя объяснить влиянием неоднородной силы трения. Между тем, возможны другие механизмы потери устойчивости. Например, если рассмотреть элементарный твердый сегмент, движущийся в среде с сопротивлением, то с физической точки зрения совершенно очевидно, что для того чтобы совершить виртуальное перемещение параллельно его плоскости нужно затратить работу меньшую, чем в перпендикулярном направлении. Предельная ситуация приводит к наложению на систему дополнительной неинтегриру-емой связи, запрещающей перемещение сегмента в перпендикулярном направлении. Связи такого типа рассматривались ранее и для систем с бесконечным числом степеней свободы. В частности, в работах [14-18] авторы пытались таким образом объяснить механизм движения рыб и змей в воде. Известно, что влияние неинтегрируемых связей может приводить к потери устойчивости в реальных системах. Прежде всего речь идет о шимми ведущего колеса самолета [19]. Другой пример — неустойчивость движения игрушечной собаки на колесах, которую тянут за веревку, содержится в книге [13]. В статье [20] рассмотрены системы с бесконечным числом степеней свободы (тросы) с позиции влияния связи на устойчивость. Эта работа имела своей целью объяснить явление потери устойчивости буксируемой длинной емкости, заполненной нефтью [13]. Как уже отмечалось, распределенную систему можно считать предельным случаем цепочки твердых тел. В настоящей работе рас- сматривается задача о механизме потери устойчивости прямолинейного движения простейшей цепочки твердых тел с произвольным количеством звеньев, на которую наложены дополнительные неин-тегрируемые связи. Классической общепризнанной моделью неинтегрируемой связи является неголономная связь. С другой стороны, существует другая модель, предложенная В.В. Козловым [21,22] — модель ваконом-ной связи, которая основана на вариационном Лагранжевом подходе. Сравнению этих двух моделей с точки зрения корректности математической постановки посвящена статья [25]. Тем не менее, у исследователей, более ориентированных на приложения, предложенный формализм вакономной механики вызывает некоторые возражения (см. статью Г. Дзампьери [26], показывающую, что классическая система (конек Чаплыгина), рассматриваемая, как вакономная, ведет себя странным образом). Между тем надо иметь в виду, что любая неинтегрируемая связь является идеализацией и появляется как результат некоторых больших по модулю сил. Так, например, в работе М.В. Дерябина и В.В. Козлова [27] дается объяснение "парадоксальным" частным движениям вакономного конька [26] на основании эффекта "выныривания" тяжелого твердого тела в жидкости. Известно, что большие силы трения специального вида приводят в пределе к появлению неголономной связи. Первая работа относительно возможной реализации связи принадлежит К. Каратеодори [28]. Аккуратное доказательство этих утверждений содержится в работах А.В. Карапетяна и В.Н. Бренделева [29,30]. Проблема реализации неголономных связей была рассмотрена также И. Баумгарте [31]. В своей статье он рассмотрел ее методами численного анализа, не доказывая теорем о предельном переходе. Вакономная связь может быть реализована с помощью действия больших инерционных сил, возникающих за счет действия присоединенных масс (эффект хорошо известный в гидродинамике). Поэтому вакономная модель может оказаться более предпочтительной для описания предельного движения цепочки тел в жидкости. Одна из задач данной диссертации — показать, что механизм неустойчивости лежит в характере взаимодействия тел со средой, т. е. в соответствующей модели силы трения. Другая задача, рассмотренная в диссертационной работе, является продолжением исследования асимптотических свойств движений механических систем, начатых В.В. Козловым [32-35]. Как известно [36], сущность первого метода Ляпунова состоит в нахождении общего или частного решения уравнений возмущенного движения механической системы, позволяющего сделать вывод о том, устойчиво ли ее нулевое решение или нет. В случае, когда кинетическая энергия Т (q, q) и потенциальная энергия V (q) натуральной голономной системы представляют собой аналитические функции, a q = 0 является невырожденной критической точкой потенциальной энергии, эта задача полностью решена A.M. Ляпуновым. При отсутствии минимума в точке q = 0 асимптотическое решение находится в виде Ситуация, когда отсутствие минимума нельзя определить по квадратичной форме разложения потенциальной энергии подробно рассматривалась в работах [32,34]. Неустойчивость выводилась из теоремы о существовании асимптотического решения, которое было представлено рядом с обобщенно-степенной асимптотикой. Позже В.В. Козловым рассматривались возможные построения асимптотических решений и для неголономных систем. Хорошо известно, что если q = 0 — точка строгого локального минимума потенциальной энергии V (q), то невозмущенное движение q[t) — О неголономной системы устойчиво по Ляпунову на инвариантном многообразии, задаваемом уравнениями связей [37], как при действии диссипативных сил так и при их отсутствии. Обратное утверждение при некоторых дополнительных предположениях было доказано в [33] для консервативных систем. В настоящей диссертации применяется обобщенный первый метод Ляпунова для неголономных систем с полной диссипацией и для голономных систем с частичной диссипацией. Диссертационная работа состоит из четырех глав. В первой главе дается постановка задачи об устойчивости п последовательно соединенных коньков. Подробно разбираются случаи п = 1, п = 2. В этом разделе приводятся различные модели для описания влияния среды на движение тел в цепочке. Рассматриваются системы, на которые наложены неинтегрируемые связи и системы, на которые воздейст- вует анизотропная сила трения, а также исследуется эффект присоединенных масс на устойчивость движения. Глава 2 посвящена обобщению полученных результатов на системы с произвольным числом звеньев. Основной результат заключается в том, что вне зависимости от того, какие значения выбраны для безразмерных параметров, характеризующих систему, движение п транспортируемых коньков неустойчиво. Причем в системе, на которую наложена неголономная связь, неустойчивость будет типа флаттера. Показано также, что если рассматривать дифференциальные уравнения, получающиеся из вариационного принципа Гамильтона, то можно придти к тому же выводу о неустойчивости движения, только неустойчивость будет иметь другой тип. В заключении этой части диссертационной работы рассмотрен случай п —> со. Путем формального предельного перехода устанавливается взаимосвязь между уравнениями движения длинной транспортируемой емкости [20] и уравнениями движения цепочки тел. В главе 3 основное внимание уделяется стабилизации прямолинейного движения цепочки твердых тел. В первом параграфе описывается влияние свойств среды на устойчивость. Показано, что при наличии достаточно большого диссипативного момента и силы трения рассматриваемое движение может быть стабилизировано. В других двух параграфах этой главы рассмотрены различные механические устройства соединения тел в цепочке. Дается обоснование того, что при дополнительном соединении тел пружинами движение остается неустойчивым; влияние же демпферов достаточной жесткости спо- собно застабилизировать прямолинейное движение п транспортируемых коньков. Устойчивости положения равновесия в механических системах с диссипацией посвящена глава 4. Исследование проводится с помощью обобщенного первого метода Ляпунова, развитого в работах В.В. Козлова и С.Д. Фурты [32,33,35,38]. Для неголономной системы с полной диссипацией доказывается неустойчивость положения равновесия в том случае, когда потенциальная энергия V (q) в критической точке не имеет минимума, и отсутствие минимума можно определить по первой нетривиальной однородной форме в разложении V (q) в ряд Маклорена. Неустойчивость выводится из существования асимптотического решения к положению равновесия. Также с помощью первого метода Ляпунова исследуются равновесие голоном-ной системы с частичной диссипацией. Отметим, что существование полученных асимптотических решений не следует из опубликованных ранее работ [32,33,35,38]. Также новыми являются результаты относительно неустойчивости положений равновесия (ср. [39-42]). Глава 1 Постановка задачи. Простейшие механические модели 1.1 Описание основной механической системы и постановка задачи Рассматривается система, состоящая из материальной точки А, перемещающейся с постоянной скоростью и, к которой посредством невесомого стержня прикрепляется связка тел. Без ограничения общности можно считать, что точка движется в отрицательном направлении оси Ох. Для моделирования движения связки п тел выберем систему п последовательно соединенных коньков. Мы будем предполагать, что масса цепочки и ее длина остается постоянной при изменении числа п. Затем введем следующие обозначения: L — длина стержня, ^ — длина конька, ^ — масса конька, ^зи^ — углы поворота стержня и j -го конька соответственно, отсчитываемые от оси Ох. Проекция скорости точки контакта j-то конька v?. на направление, перпендикулярное плоскости конька, равна нулю, что определяет наличие неинтегрируемых связей в системе. На каждый конек в точке Cj действует сила трения Ff = ~D(vc.)vc. (j = 1,... , n) , (1.1) где ус, = \|vCj • Если выбирается модель сухого трения, то D(vcj) = т^, в случае вязкого трения D(vcj) = &о (&-i и ко — некоторые положительные константы). В принципе, возможно рассмотреть и квадратичный закон трения, что не приведет к существенным изменениям в дальнейших рассуждениях. Обобщенные координаты q = ( Ч> W = Фг (О = Ф2 W = • • • = Фп (t) = 0 . (1.2) Доказательство неустойчивости движения (1.2), а также изучение возможности его стабилизации представляет основную задачу данной работы. На примере одного транспортируемого конька показывается, что возможной причиной неустойчивости является специфический характер воздействия среды на движение тел в связке. 1.2 Неустойчивость движения одного конька Рассмотрим вначале наиболее простую систему, состоящую из одного транспортируемого конька. Схематически система изображена на рисунке 1.1, где отрезок АВ\ соответствует стержню, а отрезок коньку. В выбранных координатах вектор и = (и, 0). Мы будем предпола- гать, что лезвие конька перпендикулярно плоскости, по которой он движется. Перейдем к выводу уравнений движения. Заметим, что в момент времени t точка С\ (точка касания конька с плоскостью) имеет координаты r^ = (xc^yct)'- xCi = xo — ut + L cos (p + \| cos ф\ , Отсюда Vd = (—и — Lsin Условие неголономной связи в координатах q = ((p, ф{) можно записать в виде = Lcos( -ф = 0 , здесь n — вектор ортогональный В\В2, т.е. п = (—si Найдем теперь компоненты обобщенных сил Q т и Q л, действую- щих на систему jr = Qjr = Ffr^ = -D(yCl)L [L0 + usin^ + l- cos Qlr = Ffr^ = -^c^ fusing + Lcos{ = \L cos { (1.3) Будем считать, что центр масс конька лежит на вертикальной прямой, проходящей через точку касания. Тогда во введенных координатах кинетическую энергию можно представить в виде Т (q, q) = \m (хД ТП /о го .о ' , 2 гт 1 1 \ • 1 IЛ А\ = —[и + Ь ф Н----^1 + Lt cos ур — ф\) ф ф\ -\- l-L-v 1 • 2 + 2uL sin ^ + ul sin "01 V'l) + « ^i • Здесь / — момент инерции конька относительно оси, перпендикулярной плоскости Оху, am — масса конька. Можно считать, что / = тРа (а — константа, зависящая от формы конька). Запишем уравнения Лагранжа: dt 15 С учетом выражений (1.3), (1.4) получим: тЬф + гпт} cos (ip — ф\) ф\ + m\| sin {ip — фх) фх = = —D(vci) [L cos ((p — ф\) ф + ml (^ + 2a) ^i — mi sin ( — ф{) ф2 = d) [usin-01 + Lcos (y7- ^i)y> +5^1 ] +Л , Z- cos (tp — ф\) ф + \| ^i + u sin ф\ = 0 . Линеаризуем систему (1.5) mL mLCp + ml (\| + 2a) ^ = -JD(u) [w^i + Ly> + ^ ] + A , (1.6) L99 + I ^1 + иф\ = 0 . Отметим, что линейное приближение (1.6) имеет указанный вид вне зависимости от того, какая модель трения (1.1) выбрана. Уравнения (1.6) можно упростить: тЬф + т^фх = —D(u)u [(р — фх] + А , т\ф + ml (\| + 2а) фх = А , (1.7) Ьф-\-^ фх+ ифх = 0 . Далее перейдем к безразмерным переменным. Для этого сделаем за- мену времени t ь->- ^t и множителя А ь-> ^у-А. Кроме того, введем обозначения для безразмерных параметров 0-$Л-У& ¦ (1-8) I ти Перепишем уравнения (1.7) в следующем виде: РФ + \Фг = -т Ь - 0i] + А , = \, (1.9) Затем исключим Л из уравнений (1.9) ф1] , РФ + \Ф\ + Ф\ = 0 • Характеристический полином p(z) системы (1.10) будет многочленом третьей степени p(z) = 2Paz3 + 7 Q + P)z + 7 • У тверже дение 1.1. Характеристический многочлен p(z) имеет один вещественный отрицательный корень, а два других его корня являются комплексно сопряженными числами с положительной вещественной частью. Доказательство. Обозначим через zi,Z2,z^ корни p(z). Доказательство первой части утверждения, что Kezi < 0 — очевидно, а то, что Rez2,3 > 0 и Z2 = гз следует из равенств Z\ +Z2+Z3 = 0 и р{х) > 0, xGR; х > 0. Ч.т.д. Из утверждения 1.1 выводится неустойчивость исследуемого движения. Следуя работам [22-24], рассмотрим данную систему с точки зрения вакономной механики. Рассматриваемая модель может быть применена для описания движения транспортируемого тела в среде с сопротивлением. Основываясь на вариационном принципе Гамильтона и решая соответствующую вариационную задачу [22], можно прийти к следую-

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23167.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

03.11.24 Лексикографический анализ единиц поля

03.11.24 Из истории слова гость и его производных

03.11.24 Семантическое поле гость в русском языке

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2024. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.