У нас уже
176407
рефератов, курсовых и дипломных работ
Сделать закладку на сайт
Главная
Сделать заказ
Готовые работы
Почему именно мы?
Ценовая политика
Как оплатить?
Подбор персонала
О нас
Творчество авторов
Быстрый переход к готовым работам
Контрольные
Рефераты
Отчеты
Курсовые
Дипломы
Диссертации
Мнение посетителей:
Понравилось
Не понравилось
Книга жалоб
и предложений
Название
Многообразия и классы кручения т—групп
Количество страниц
51
ВУЗ
МГИУ
Год сдачи
2010
Бесплатно Скачать
23524.doc
Содержание
Содержание
Введение 3-12
ГЛАВА 1. Многообразия т-групп 13 - 22
§1. Классы кручения т-групп 13 - 20
§2. Базис тождеств произведения
многообразий т-групп 20-22
ГЛАВА 2. Накрытия в решетке многообразий
т-групп 23 - 35
ГЛАВА 3. Накрытия в решетке квазимногообразий
^-групп 36 - 46
Литература 47-51
Введение
Решеточно упорядоченная группа (1-группа) - это алгебраическая система сигнатуры I =< .,~l,e,V,/\ >, совмещающая в себе структуру группы и решетки, связанные естественными соотношениями
х(и V v)y = хиу V xvy, х(и Л v)y = хиу Л xvy.
В настоящее время интенсивно развивается теория многообразий и квазимногообразий ^-групп, которая берет свое начало с работ Г. Биркгофа [1], [2] и А.И. Мальцева [3] по теории алгебраических систем. Теория многообразий и квазимногообразий ?-групп достаточно полно отражена в монографической литературе (см. М. Дарнел [4], А. Гласе, Ч. Холланд [5], А. Гласе [6], В.М. Копытов [7], В.М. Копытов, Н.Я. Медведев [8]).
Сравнительно недавно М. Жираде и И. Рахунек [9] ввели в рассмотрение новый класс алгебраических систем, тесно связанный с классом решеточно упорядоченных групп. Эти алгебраические системы называются m-группами. Более точно, m-группой называется алгебраическая система G сигнатуры т = {^е'1 ,А,У, *} такая, что (G; -,е~1, V,Л) является решеточно упорядоченной группой, а унарная операция * является реверсивным автоморфизмом второго порядка ^-группы G = (G; ^e,"1, V,A), т.е. * является автоморфизмом группы (G\-,e~l) и антиавтоморфизмом решетки (C?;V,A). Если х -элемент m-группы G = {G\ •, е,"1, V, Л, *), то аг# обозначает результат применения унарной операции * к элементу х [10].
В работах М. Жираде и И. Рахунека [9], В.М. Копытова и И. Рахунека [10], [11] построена теория многообразий т-групп, установлена связь этой теории с теорией многообразий решеточно упорядоченных групп. Интерес к исследованию т-групп объясняется тем, что само понятие т-группы появилось в результате формальной характеризации групп монотонных преобразований линейно упорядоченных множеств усилиями многих
математиков: П. Лоренцена [12], [13], А. Клиффорда [14], П.Г. Конторовича и А.И. Кокорина [15], В.В. Блудова и А.И. Коко-рина [16], М.Жираде и Ф. Люка [17].
Одним из основных методов исследования решеточно упорядоченных групп и m-групп является теория групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств, которая была создана, в основном, работами американских ученых Ч. Холланда в [18], [19], [20], А. Гласса в [21], [22], С. Макклири в [23], [24].
Напомним ряд определений и вспомогательных результатов необходимых в дальнейшем.
Как обычно, |а;| = х V я"1, [х, у] = x~ly~lxy, N, Z - множества натуральных и целых чисел, х ^> у означает, что \х\ ^ \у\п для любых х, у и для любого п 6 N. Символ ? обозначает конец доказательства.
Подгруппа Н частично упорядоченной группы G называется выпуклой, если для любых элементов x,yfz ? G таких, что x,z Е Н и х <у < z, следует, что у Е Н.
Подгруппа Я решеточно упорядоченной группы G называется ?-подгруппой, если Н замкнута относительно групповых опер-ций -,"1 и решеточных операций V, Л.
Подгруппа Н произвольной m-группы G называется т-подгруппой, если Н является ^-подгруппой m-группы G и Н замкнута относительно унарной операции *, определенной на m-группе G. Выпуклая нормальная т-подгруппа m-группы G называется т-идеалом m-группы G.
Тождеством сигнатуры т называется формула узкого исчисления предикатов, имеющая вид
где А(х\,.. .хп) - некоторый терм сигнатуры т.
Класс m-групп Х называется многообразием m-групп, если существует множество S тождеств сигнатуры т такое, что X состоит из всех m-групп, на которых истинны все тождества из S.
В основе теории многообразий лежит следующая теорема, доказанная для многообразий алгебр Г. Биркгофом [25] в 1935г.
Теорема 1. (Г. Биркгоф) Для того, чтобы непустой класс т-групп X был многообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) декартово произведение т-групп из X принадлежит X;
2) всякая т-подгруппа т-группы из X принадлежит X;
3) гомоморфный образ т-группы из X принадлежит X'. Квазитождеством сигнатуры ? называется формула Ф узкого исчисления предикатов, имеющая вид
(Vxi)... (Va?n)(Ai = ?i&... kAk = Bk^ Ak+1 = Bk+1),
где Ai = Ai(xi,...xn)y Bi = Bi(xi,...xn) - некоторые термы сигнатуры I для г € {1,2,... , k + 1}.
Класс ^-групп X называется квазимногообразием ^-групп, если существует множество Е квазитождеств сигнатуры I такое, что X состоит из всех ^-групп, на которых истинны все квазитождества из S.
Основной для теории квазимногообразий ^-групп является следующая теорема (см., например, [25]):
Теорема 2. (А.И. Мальцев) Для того, чтобы непустой класс 1-групп X был квазимногообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) фильтрованное произведение l-групп из X принадлежит X;
2) всякая ^-подгруппа ^-группы из X принадлежит X. Хорошо известно, что множество Л всех квазимногообразий
^-групп является решеткой относительно естественных решеточных операций объединения и пересечения [25]. Поскольку любое многообразие является квазимногообразием [25], то множество всех квазимногообразий I-групп Л содержит множество всех многообразий ?-групп L. Более того, решетка L всех многообразий ^-группа является собственной подрешеткой решетки Л всех квазимногообразий ?- групп [8].
Говорят, что квазимногообразие ?-групп (многообразие т-групп) 3^ накрывает квазимногообразие ?-групп (многообразие m-групп) X в решетке квазимногообразий ^-групп Л (многообразий m-групп Lm), если У ~Э X и из того, что У Э Z D X следует У = Z или Z = X.
Среди всех многообразий ^-групп выделим следующие:
(1) Л - многообразие всех абелевых ^-групп. Е. Вейнбергом [27], Ю.С. Гуревичем и А.И. Кокориным [28], Н.Г. Хисамиевым [29] показано, что Л является наименьшим нетривиальным элементом в решетках L и Л.
(2) Mi - многообразие всех ^-групп с субнормальными скачками. Это многообразие определяется следующим тождеством
V е)"1^ V е)'\х V е)2(у V е)2 Л е = е.
Описание этого класса ?-групп в терминах тождеств дано С. Вольфенштейном в [30]. Ч. Холландом в [31] доказано, что многообразие Mi является наибольшим собственным подмногообразием ^-групп в решетке многообразий всех ^-групп L.
(3) Wa - многообразие всех жестких ^-групп, т.е. ^-групп, в которых выполнено тождество
х~1\у\х\у\~2 У е = е.
Среди всех многообразий m-групп выделим многообразия, задаваемые тождествами только лишь сигнатуры решеточно упорядоченных групп. Разумеется, такими многобразиями не исчерпываются все многобразия m-групп. Например, многообразие m-групп Х, порожденное бесконечной циклической группой Z, с естественным линейным порядком и унарной операцией *, определенной по правилу: ж* = ж"1, является наименьшим собственным многообразием m-групп и не совпадает с многообразием всех абелевых m-групп. Тем не менее, очень многие многообразия m-групп, играющие важную роль в теории многообразий m-групп задаются с помощь тождеств сигнатуры решеточно упорядоченных групп ? =< .~1 >е, V,Л > . В частности,
большую роль в теории многообразий m-групп играет многообразие m-групп с субнормальными скачками N"m. Это многообразие задается в классе всех m-групп (как и в классе всех ^-групп) тождеством
(х V е)~1{у V е)"1^ V е)2(у V е)2 Л е = е
сигнатуры ? и состоит из таких m-групп, которые являются I-группами с субнормальными скачками. В.М. Копытов и И. Ра-хунек [10] показали, что многобразие Мт всех m-групп с субнормальными скачками является наибольшим собственным многообразием в решетке всех многообразий m-групп.
Класс m-групп Т называется классом кручения [7], [8], если он обладает следующими свойствами:
1) замкнут относительно взятия выпуклых т-подгрупп;
2) замкнут относительно взятия m-гомоморфных образов;
3) замкнут относительно взятия объединения выпуклых т-подгрупп из Т.
Пусть X и У - произвольные многообразия m-групп. По определению m-группа G принадлежит произведению многообразий m-групп X - У, если в G существует m-идеал М G X такой, что G/M Е У.
Диссертация посвящена изучению свойств многообразий m-групп, изучению строения решеток многообразий m-групп и квазимногообразий решеточно упорядоченных групп.
Основные положения, вынесенные на защиту:
- доказано, что любое многообразие m-групп является классом кручения (теорема 1.8);
- найден базис тождеств для произведения многообразий тп-групп (теорема 1.9);
- доказано, что произведения XX и ЛщХ любого конечноба-зируемого многообразия m-групп Х и многообразий абелевых
m-групп X и Лщ являются конечнобазируемыми многообразиями (следствия 1.10 и 1.11);
- построено счетное множество накрытий многообразия всех абелевых m-групп Лщ в решетке многообразий m-групп Lm (теорема 2.6 );
- построено счетное множество накрытий многообразия абелевых ?-групп в решетке квазимногообразий ?-групп Л (теорема 3.6, следствия 3.7 и 3.8).
Диссертация состоит из трех глав, связанных между собой единой методикой и техникой исследования.
Целью главы 1 диссертации является доказательство того, что произвольное многообразие m-групп является классом кручения и изучение базисов тождеств произведений многообразий m-групп. М. Жираде, И. Рахунек ([9], вопрос 3.2) поставили вопрос о том, является ли произвольное многообразие т-групп классом кручения. В §1 данной главы приводится доказательство того, что произвольное многообразие m-групп является классом кручения (теорема 1.8), что дает положительный ответ на поставленный вопрос. В §2 главы 1 найден базис тождеств произведения произвольных многообразий m-групп (теорема 1.9). Доказано, что если X - конечнобазируемое многообразие m-групп, то многообразия АщХ и XX также конечноба-зируемые (следствие 1.10, следствие 1.11), где Лщ - многообразие всех абелевых m-групп, а многообразие т-групп X порождается линейно упорядоченной группой целых чисел с естественным порядком и унарной операцией *, определенной по правилу
Результаты главы 1 получены автором лично и опубликованы в [43], [44].
Во второй главе изучаются накрытия многообразия абелевых m-групп Ащ в решетке многообразий m-групп Lm. Исследования строения решетки многообразий m-групп проводились М. Жираде и И. Рахунеком [9], В.М. Копытовым и И.
Рахунеком [10], [11]. В работе [10] показано, что многообразие ЛЛ всех m-групп накрывает многообразие m-групп с субнормальными скачками Afm в решетке Lm. В работе [9] показано, что многообразие абелевых m-групп Лт не является наименьшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий m-групп Lm и найден наименьший нетривиальный элемент в решетке Lm - многообразие m-групп X. В этой же работе М. Жираде и И. Рахунек показали, что многообразие абелевых т-групп Лщ накрывает многообразие m-групп X в решетке многообразий m-групп Lm. В главе 2 диссертации построена счетная серия накрытий многообразия абелевых m-групп Лщ в решетке многообразий m-групп Lm (теорема 2.6). Все эти накрытия определяются следующим образом. Пусть р - простое число, Sp = др < oo,ai,... ,ap-i,b | [a^aj] = е, Ь~1сцЬ = а,-,г + 1 = j(modp) > - группа, порожденная элементами ao, а\,... , ар-\,Ь и х = 6na0°a1l... CLp'l > е в Sp, тогда и только тогда, когда п > О или п = 0 и &о > 0, ki > 0,... , кр-i > 0. Хорошо известно, что группа 5Р, относительно этого порядка, является ^-группой [7]. Следуя [9] на ^-группе Sp, где р > 3 определим унарную операцию * по следующему правилу: 6* = б"1, (ao)* = a^1 ^
для всех г ф 0, где число p — i- остаток от деления числа р — i на число р. Для р = 2 определим унарную операцию „ на ?-группе 5г по правилу: 6* = б"1, (ao)* = aj"1, (^l)* = a^1. Тогда Sp является m-группой. Через «Sp обозначим m-многообразие, порожденное m-группой Sp. Во второй главе доказано (теорема 2.6), что многообразие m-групп Sp накрывает многообразие абелевых m-групп Лт в решетке многообразий m-групп Lm для любого простого числа р.
Результаты главы 2 получены автором лично и опубликованы в [45], [46].
Целью главы 3 является построение накрытий многообразия абелевых ^-групп Л в решетке квазимногообразий ^-групп Л. Из описания известных накрытий многообразия абелевых
?-групп Л в решетке многообразий ^-групп L, полученного Е. Скримджером [32], Н.Я. Медведевым [33], В.М. Копытовым [34], Д. Бергманом [35], следует, что каждое из этих многообразий ^-групп X порождается одной неабелевой ^-группой Gx, т.е. X = variGx- Если G% не является нильпотентной ^-группой, то любая неабелева ?-группа из X. = var^Gx содержит в качестве ^-подгруппы ^-группу G%, и поэтому квазимногообразие ?-групп qiGx, порожденное ^-группой Gx, накрывает Л в решетке квазимногообразий ^-групп Л. В главе 3 построено счетное множество различных квазимногообразий ?-групп, накрывающих Л в решетке квазимногообразий ^-групп Л и отличных от перечисленных выше (теорема 3.6, следствия 3.7 и 3.8). Все построенные накрытия Л порождаются двуступенно разрешимыми линейно упорядоченными ^-группами, содержатся в многообразии жестко упорядоченных ?-групп Wa и не содержат нильпотентных ^-групп. Все эти накрытия определяются следующим образом. Пусть G = (а)г(Ь) - прямое сплетение двух бесконечных циклических групп (а) и (Ь). Известно, что нижний центральный ряд
G = 7i<7 > 72<2 > ... jiG > ...
группы G имеет единичное пересечение и фактор-группы rYk+iG/'yk+2G = ([а, 6,... , b]'jk+2G) - бесконечные циклические
к группы, порожденные элементом [а, Ь,... , bJjk+2G для любого
к е N [37] (здесь -yk+1G = [ykG, G]).
Для любой бесконечной последовательности е =
(e0>ei,... ,en>...)i гДе ?о = +1* <ч = ±1 (г G N), определим линейный порядок
Q{e) = Q(e0, еь... , еп, на группе G следующими соотношениями: 6 » а?о > [a, b]?l » [а, 6, Ь]?з » ... » [а, 6,... , Ь]?к » ... > е.
Через е(п) = (ео, €\,... , ?n-i) обозначим бесконечную последовательность е со свойствами: 1) е$ = +1; 2) €{ — ?j, если г = j (mod n) [n,i,j G N). Всюду в дальнейшем группу G, линейно упорядоченную относительно линейного порядка Q(gr(n)), будем обозначать через (С?, Q(e(n))) и последовательность е(п) будем называть периодической. В главе 3 доказано (теорема 3.6 и следствие 3.7), что для любой периодической последовательности е(п) (п € N) квазимногообразие I-групп
порожденное линейно упорядоченной группой
(G,Q{eo,ei,... ,en-
накрывает многообразие абелевых ^-групп Л в решетке квазимногообразий ^-групп Л и найдены условия при которых определенные выше накрытия многообразия Л в решетке квазимногообразий ^-групп Л различны (теорема 3.9).
Результаты данной главы получены совместно с Н.Я. Медведевым и опубликованы в [48], [49], [50], [51], а также совместно с Е.А. Исаковой и опубликованы в [47]. Некоторые результаты главы 3 (следствие 3.7) вошли в монографию В.М. Копытова, Н.Я. Медведева ([8], глава 14).
Методы, используемые автором для доказательства результатов, опираются на абстрактную теорию групп, универсальную алгебру и теорию решеточно упорядоченных групп.
Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток многообразий m-групп и квазимногообразий ^-групп, а также при чтении спецкурсов.
Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института математики СО РАН, на 5-ой Сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (Барнаул, 1988 г.), международной конференции
"Упорядоченные алгебраические системы" (Гейнесвил, США, 1991 г.), Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ - 1998" (Новосибирск, 1998 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения - 2001" (Новосибирск, 2001 г.), Международной летней школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры " (Эрлагол, 2003 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения - 2003" (Новосибирск, 2003 г.).
Диссертация содержит 51 страницу, состоит из введения, трех глав и библиографии. Библиография включает 51 наименование.
В диссертации используется терминология и обозначения, принятые в теории групп (см. книгу М.И. Каргаполова, Ю.И. Мерзлякова [37]), теории алгебраических систем (см. книгу А.И. Мальцева [25]) и теории решеточно упорядоченных групп (см. книги В.М. Копытова [7], В.М. Копытова и Н.Я. Медведева [8]).
В заключении отметим, что при ссылках на утверждения используется двойная нумерация. Например, ссылка на лемму 3 главы 1 имеет вид 1.3.
ГЛАВА 1 МНОГООБРАЗИЯ m-ГРУПП
В главе 1 диссертации изучаются радикальные свойства многообразий m-групп и тождества произведений многообразий т-групп. В работе [9] М. Жираде, И. Рахунек поставили вопрос о том, является ли произвольное многообразие m-групп классом кручения. В первом параграфе данной главы доказано, что произвольное многообразие m-групп является классом кручения (теорема 1.8). При доказательстве этого результата существенно используется результат В.М. Копытова и И. Рахунека, что многообразие m-групп с субнормальными скачками является наибольшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий m-групп Lm. Во втором параграфе данной главы найден базис тождеств произведения многообразий m-групп (теорема 1.9). Доказано, что если X - конечнобазируемое многообразие m-групп, то многообразия ЛщХ и XX также конечнобазируемые (следствие 1.10, следствие 1.11), где Am - многообразие всех абе-левых m-групп, а многообразие m-групп X порождается линейно упорядоченной группой целых чисел с естественным порядком и унарной операцией *, определенной по правилу ж* = х~1.
Результаты главы 1 получены автором лично и опубликованы в [43], [44].
§1. Классы кручения m-групп
Класс m-групп Т называется классом кручения, если он обладает следующими свойствами:
1) замкнут относительно взятия выпуклых т-подгрупп;
2) замкнут относительно взятия гомоморфных образов;
3) замкнут относительно взятия объединения выпуклых гп-подгрупп из Т.
Класс m-групп Т называется радикальным классом,, если он обладает свойствами 1) и 3) из определения класса кручения.
Напомним, что для любого неединичного элемента g некоторой ^-групп G существует непустое множество {V^(^) | а ? /} выпуклых ^-подгрупп ^-группы G, не содержащих g и максимальных с этим свойством. Тогда выпуклая ^-подгруппа Va(g), порожденная Va(g) и g такова, что между Va(g) и Va(g) нет выпуклых ^-подгрупп ^-группы G. Пара выпуклых ^-подгрупп Va{g) -< Va{g) называется скачком в решетке L(G) выпуклых ^-подгрупп ^-группы G, определенным элементом д. Скачек Va(д) -< Va(g) будем называть субнормальным, если Va(g) является идеалом в Va(g). Группу G, в которой для любого неединичного элемента д любой скачок Va(g) -< Va(g) выпуклых ^-подгрупп ^-группы G, определенный элементом д, является субнормальным будем называть l-группой с субнормальными скачками.
Через Мщ обозначим многообразие m-групп с субнормальными скачками, определяемое тождеством
(х V е)~1(у V е)"1^ V е)2{у V е)2 Л е = е.
Многообразие Мт состоит из всех таких ^-групп G, у которых все скачки системы выпуклых ?-подгрупп субнормальны и, следовательно, факторы этих скачков являются архимедовыми линейно упорядоченными группами.
Как показали В. М. Копытов и И. Рахунек [10], многообразие Mm обладает следующим свойством.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Многообразие J\fm является наибольшим собственным многообразием в решетке многообразий т-групп.
Заметим, что если G является m-группой, то она является также и ^-группой.
Пусть Н - произвольная ^-группа. Определим на Н обратный порядок <д : для любых элементов a,b E H полагаем а<цЪ тогда и только тогда, когда Ь<а в ^-группе Н. Пусть HR =
Для многообразия ?-групп V через Vn обозначим многообразие, состоящее из всех ^-групп HR, для которых Н принадлежит V. Многообразие ?-групп V называется реверсивным, если V = V7^ [26]. Хорошо известно, что Aft является реверсивным [26]. Следующие утверждения хорошо известны и мы приводим их для полноты изложения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. [9] Если X реверсивное многообразие i-групп, тогда многообразие т-групп Хт, определяемое l-групповыми тождествами, которые определяют многообразие 1-групп X, является классом кручения.
СЛЕДСТВИЕ 1.3. [9] Многообразие т-групп АГт является классом кручения.
Через X [9] обозначим многообразие m-групп, определяемое тождеством х* = х~1 (в работе [9] унарная операция * обозначена как Inv) .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. [38] Пусть G - l-группа с субнормальными скачками, порожденная конечным числом элементов gi, ¦ • • , gn, и в G имеется идеал N ф Е, содержащийся в любом другом i-идеале G. Тогда выпуклая 1-подгруппа в G, порожденная одним из элементов #*, 1 < к < п, совпадает с G.
Пусть G — (G; •, е, 1, V, Л, *) - m-группа, / - произвольный элемент из G и Я = {t E G \ (|/| V |M)"n < t < (|/| V |/*|)n, n e N}.
Предложение 1.5. Подмножество Н является выпуклой т-подгруппой G, порожденной элементом /.
Доказательство. Хорошо известно, что для произвольного элемента / € G выполняется равенство |/|* = I/*!"1. Поэтому
(I/I v |Д|), - |/|* л |Д|, = 1ЛГ1 л 1Д.1-1 = 1ДГ1 л 1/Г1 =
(1/МД|)-1. Пусть теперь (|/МД|)-» < х < (|/|У|Д|)п (n € N). Так как * - антиавтоморфизм второго порядка, то (1/1 V |Д|)П > z* > (|/| V |Д|)"П. Это означает, что подмножество Н устойчиво относительно унарной операции *. Стандартные рассуждения показывают, что Н замкнуто относительно операций V,A, -,"1. По определению Н является выпуклым подмножеством и, следовательно, Н - выпуклая m-подгруппа т-группы G. D
Пусть L - произвольное подмножество m-группы G, L4 -подмножество {я* | х € L}.
Предлолсение 1.6. Пусть G - т-группа и N - наименьший неединичный т-идеал G. Предположим, что существует l-идеал L в G, такой, что ECLCNuL^N, Ьф Е. Тогда
Доказательство. Стандартная проверка показывает, что L* является ^-идеалом группы G. Тогда очевидно, что L Р) Ь* является т- идеалом. Так как Lf)L*CLCNviN- наименьший m-идеал, то L f]L* = Е. Пусть L\/L* - объединение ^-идеалов в решетке выпуклых ^-подгрупп ^-группы G. Легко убедиться, что L\/ L* является m-идеалом в т-группе G. Следовательно, т-идеал N разлагается в прямое произведение I-идеалов L и L*, т.е. N — L х L*.
Заметим, что в этом случае L является минимальным
неединичным ^-идеалом в ^-группе G. Действительно, если существует ^-идеал L\ С L, L ф L\ и L\ ф Е, то по проведенным выше рассуждениям L\ V (la)* = L\ х (Za)* = N. Покажем, что L = L\. Пусть это не так, тогда существует элемент д € L \ L\ С N. Следовательно, элемент д можно представить в виде д = 1Х . (Щ*, где l\ e Lb (h)* 6 (^i)*. В силу однозначности представления элемента в N = L x L* будем иметь д = /i, е = (^)*? т-е- 9 ? L\, что невозможно и, следовательно, L = L\. D
Предложение 1.7. Пусть G - т-группа с субнормальными скачками, порожденная конечным числом элементов 9ii'" i9n, и в G имеется т-идеал N ф Е, содержащийся в любом другом т-идеале т-группы G. Тогда выпуклая т-подгруппа в G, порожденная одним из элементов gk, 1 < к < п, совпадает с G.
Доказательство. Если N является наименьшим ^-идеалом в ^-группе G, тогда утверждение данного предложения непосредственно следует из предложений 1.4 и 1.5. Пусть теперь N не является наименьшим ^-идеалом m-группы G. Покажем вначале, что N содержит некоторый ?-идеал m-группы G. Пусть К -произвольный ^-идеал в m-группе G, тогда объединение KVK* в решетке выпуклых ^-подгрупп является m-идеалом в т-группе G и К V К* Э N. Так как решетка m-идеалов дистрибутивна, то (KVK*)AN={KAN)V (К* A N). Если KAN = E, тогда К% А N — Е и, следовательно, (К V К*) А N = Е, что невозможно, так как N С К У К*. Поэтому KANфEиKAN - ^-идеал, содержащийся в т-идеале N. То есть в m-группе G существует ?-идеал, содержащийся в т-идеале N. Пусть L -минимальный ?- идеал, отличный от ?7, содержащийся в N. По предложению 1.6 имеем N = L x L*. Пусть {Ai} - это множество всех ^-идеалов m-группы G таких, что Ai f] L = Е (г Е /).
Список литературы
Цена, в рублях:
(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)
1425
Скачать бесплатно
23524.doc
Найти готовую работу
ЗАКАЗАТЬ
Обратная
связь:
Связаться
Вход для партнеров
Регистрация
Восстановить доступ
Материал для курсовых и дипломных работ
29.04.24
Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов
29.04.24
Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников
29.04.24
Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников
Архив материала для курсовых и дипломных работ
Ссылки:
Счетчики:
© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.