У нас уже
176407
рефератов, курсовых и дипломных работ
Сделать закладку на сайт
Главная
Сделать заказ
Готовые работы
Почему именно мы?
Ценовая политика
Как оплатить?
Подбор персонала
О нас
Творчество авторов
Быстрый переход к готовым работам
Контрольные
Рефераты
Отчеты
Курсовые
Дипломы
Диссертации
Мнение посетителей:
Понравилось
Не понравилось
Книга жалоб
и предложений
Название
Модули над кольцом многочленов, связанные с представлениями конечномерный алгебр
Количество страниц
48
ВУЗ
МГИУ
Год сдачи
2010
Бесплатно Скачать
23523.doc
Содержание
Содержание
Введение 3
Обозначения 9
0 Предварительные сведения 11
0.1 Глубина и коэн-маколеевость... 11
0.2 Комплекс Игона-Норкотта ... 12
0.3 Инварианты модулей над коммутативными кольцами... 14
0.4 Базисы Грёбнера... 15
0.5 Разложение конечномерных алгебр в прямую сумму ... 17
0.6 Простые и сепарабельные алгебры... 18
0.7 Максимально центральные алгебры... 19
1 Доказательство теоремы 1 26
1.1 Случай 1 = 1... 27
1.2 Случай 1> 1... 30
2 Доказательство теоремы 2 35
2.1 Случай коэн-маколеевости... 35
2.2 Случай точного функтора... 43
3 Доказательство теоремы 3 46 Литература 48
Введение
Настоящая работа, находящаяся на стыке коммутативной и некоммутативной алгебры, посвящена исследованию алгебраического обобщения одной задачи, возникшей в области приложений коммутативной алгебры к линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. Эти приложения разрабатываются более полувека: инвариантный способ описания системы линейных дифференциальных уравнений
+ • ¦ • + Dlmfm = 0,
где fj — функции нескольких вещественных переменных, Dij — дифференциальные операторы, заключается в рассмотрении (левого) модуля М над кольцом дифференциальных операторов (D-модуля), являющегося фактором свободного модуля ранга т по подмодулю, порождённому строками матрицы (D^). Тогда, рассматривая кольцо гладких (аналитических, обобщённых) функций О как модуль над кольцом дифференциальных операторов, легко увидеть, что пространство гладких (соотв., аналитических, обобщённых) решений нашей системы отождествляется с пространством гомоморфизмов ?>-модулей Нот(М, О): образующие М переходят в функции fj, которые удовлетворяют системе уравнений, потому что на образующие модуля были наложены соотношения. Но кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами является кольцом (коммутативных) многочленов от операторов ^- первых частных производных по переменным, так что в случае постоянных коэффициентов таким образом получается модуль над кольцом многочленов. Многие содержательные свойства решений системы дифференциальных уравнений естественно переформулируются в терминах коммутативно-алгебраических свойств этого модуля, см., в частности, [19]. В статье [1] рассматривался модуль над кольцом многочленов, сопостав-
ленный таким образом системе Коши-Фуэтэ, задающей кватернионно-диф-ференцируемые функции. Это модуль Мп = R4/(An), где Ап — матрица ... \Un, (Ап) — подмодуль, порождённый её столбцами,
х- у- z- t- \
— it- т*. */¦ • — -у. У% ^г Н **%
\ K/f Anff U4 *JU 1
a R = k[{xi, 2/г-, Zi, ?j}f=i], k — поле.
Авторы показывали, что проективная размерность этого модуля равна 2п — 1, и выводили отсюда, что вялая размерность пучка кватернионно-дифференцируемых функций п переменных тоже равна 2п — 1 [1, Theorem 3.1] и что когомологии этого пучка, начиная с (2п — 1)-й, на любом открытом подмножестве в W1 обращаются в нуль [1, Cor. 3.4].
Авторы использовали некоторые понятия и методы коммутативной алгебры, которые мы сейчас напомним. Дальнейшие детали и ссылки см. в разделе 0.1.
Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — Л-мо-дуль. Последовательность ai,...,an E R называется М-регулярной, если (ai,..., ап)М ф М и для % от 1 до п в модуле М/{а\,..., <2j_i)M умножение на щ инъективно.
Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — jR-mo-дуль, I С R — идеал, и IM ф М. Длина depth(7, М) любой максимальной М-регулярной последовательности в I называется глубиной М относительно /. При рассмотрении глубины градуированных модулей над кольцом многочленов относительно идеала всех многочленов без свободного члена мы будем опускать указание идеала.
Формула Ауслендера-Буксбаума. Для градуированного модуля М над кольцом многочленов R depth М + pd М = dim R.
Авторы вычисляли проективную размерность при помощи формулы Ауслендера-Буксбаума, а не построением резольвенты, так как этот путь они считали слишком сложным. Необходимая для применения формулы Ауслендера-Буксбаума глубина этого модуля, равная 2п + 1, вычислялась в [1] посредством явного (при помощи базисов Грёбнера) предъявления Л^п-после-довательности. В статье также была найдена размерность Крулля Л4п, для чего рассматривалось касательное пространство к носителю этого модуля в
С471 = Specm R для к = С. Таким образом была доказана коэн-маколеевость этого модуля, то есть равенство размерности Крулля и глубины (определение 0.1.6).
В статье [2] авторы продолжили исследования этого модуля с помощью базисов Грёбнера, найдя (градуированные) числа Бетти (то есть ранги и степени порождающих для членов градуированной минимальной свободной резольвенты Л4п), ряд Гильберта (то есть размерности однородных компонент модуля) и кратность Л4п (то есть асимптотику роста размерности однородной компоненты модуля с ростом степени этой компоненты). Мы напомним точные определения и основные свойства этих понятий в разделе 0.3.
Аналогичные исследования других систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами проводились в [8], [12], [13].
Как объяснено в начале, в [1] матрица Ап получилась из системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, задающей ква-тернионно-дифференцируемые функции, транспонированием и заменой операторов частных производных по переменным на сами переменные. Однако можно заметить (ср. [2, Introduction]), что матрица Щ есть матрица левого умножения на жг- — у4 — Z(j — Uk в базисе 1, г, j, к. Такой взгляд на матрицу Ап позволил, как заметил Е. С. Голод, полностью понять структуру модуля М.п, в частности, его проективной резольвенты. Комплексифицируем алгебру кватернионов. Так как при замене базиса в алгебре матрица Щ заменяется на сопряженную и в ней происходит линейная замена переменных, то структура модуля М.п от этого не изменится. Поэтому изоморфизм Н <8>r С = Мг(С) — матричной алгебре — позволяет в базисе из матричных единиц придать матрице Щ вид
/ Щ h Q \
q (к k \ a di J
то есть Мп = М'п 0 М'п, где М'п — фактор R2 по столбцам общей 2 х 2п-матрйцы. А про М'п известно [6], что это — коэн-маколеев модуль проективной размерности In — 2+1 = 2п — 1и что его минимальная резольвента — это комплекс Игона-Норкотта (называемый в [11] комплексом Буксбаума-Рима, см. раздел 0.2). Это описание резольвенты позволяет упростить доказательства основных результатов из [2], см. главу 3 настоящей работы.
Отсюда возникло следующее обобщение этой задачи. Пусть А — конечно-
мерная ассоциативная алгебра с 1 над полем к с базисом /i,..., /^, а р: А —>• Мп(к) — её матричное представление, отвечающее А-модулю М, dimt M — п. Зададим натуральное I и рассмотрим кольцо многочленов R = к[жц,..., Xdi] и модуль Fi(M) над ним (FlR(M), если надо явно указать кольцо многочленов, так как иногда мы будем рассматривать и кольцо многочленов, содержащее некоторые дополнительные переменные), являющийся фактормодулем свободного .R-модуля Rn по подмодулю, порождённому столбцами матриц Idj = Y^,i p{fi)xiji J = 1, -.., Z (Idj , если нам потребуется явно указать алгебру А во избежание путаницы). Мы исследуем вопрос о коэн-маколеевости и размерности модулей Fi(M) и их аннуляторов.
Ответ на этот вопрос оказался связан с классом максимально центральных алгебр, введённым Адзумая в [3, 4]:
Определение [3, §2]. Конечномерная ассоциативная алгебра А над к с единицей называется максимально центральной алгеброй, если А — прямая сумма алгебр Ai, факторы которых по радикалу просты и
t t? dimk Z(Ai),
где t"l — это ранг Ai/ rad Ai над своим центром и на самом деле имеет место равенство. J
Если U одинаковы для всех слагаемых, то будем называть максимально центральную алгебру разноразмерной.
Другие эквивалентные определения этих алгебр приводятся в разделе 0.7. Результаты дальнейшего развития работ Адзумая, приведшего к понятию алгебр Адзумая, см., в частности, в [9].
В настоящей работе доказывается
Теорема 1. Пусть либо 1 = 1, либо А — максимально центральная алгебра. Тогда
1) F[(-) есть точный вполне строгий функтор из категории конечномерных А-модулей в категорию градуированных R-модулей и однородных гомоморфизмов степени 0;
2) если 1=1 или А равноразмерна с U = п, то функтор Fi(-) переводит конечномерные А-модули в коэн-маколеевы R-модули проективной размерности (I — 1)п -+- 1 (что равно 1 при I = 1), а для произвольной максимально центральной А функтор Fi(-) переводит неразложимые конечномерные А-модули в коэн-маколеевы R-модули;
3) при I = 1 для любого М аннулятор Fi(M) — главный идеал. Имеется обратный результат:
Теорема 2. Если для некоторого I > 1 либо функтор Fi точен, либо для всех неразложимых модулей М модули Fi(M) коэн-маколеевы, то А — максимально центральная алгебра, а если отбросить условие неразложимости, то А —¦ равноразмерная максимально центральная алгебра. Более того, для произвольной (ассоциативной с 1) алгебры А для некоторого А-модуля М и некоторого I > 1 модуль Fi(M) коэн-маколеев, если и только если А/ аппМ — равноразмерная максимально центральная алгебра.
Полученная при доказательстве теоремы 1 информация о минимальной резольвенте модулей Fi(M) (лемма 1.9) позволяет найти различные инварианты этих модулей и, в частности, передоказать и обобщить основные результаты статьи [2]:
Теорема 3. Пусть максимально центральная алгебра А равноразмерна и все ti равны п. Тогда для любого А-модуля М инварианты Fi(M) получаются умножением на dimtM/n из инвариантов Fi(P) для простого А-модуля Р, где А = А <8>ьк — k-алгебра, к — алгебраическое замыкание к. А инварианты модуля Fi(P) имеют следующие значения:
• числа Бетти &о = n, 6i = In, b{ = (n+"_i) Cn-^3) nPu * ^ 2, сосредоточенные в степени 0,1, п+г — 1 соответственно (то есть ранги модулей Fi в минимальной градуированной свободной резольвенте равны 6г- и у каждого Fi все образующие имеют одну и ту же степень, равную О при г = 0, 1 при г = 1, п-\-г — 1 при i ^ 2);
• коэн-маколеев тип t — fy_i)n+i =
• ряд Гильберта (%2kdim.k Fi(P)ktk, где Fi(P)k — однородная компонента модуля степени к)
Fi(P){t) = (1 - «Dldi*
кратность
e - (dim Д- (/ - l)n - 2)! lim dimkFi(P)fc/A;dirai?-(/-1)n-2 =
Заметим, что рассматриваемым модулям над кольцом многочленов можно при помощи конструкции, описанной в начале введения, сопоставить некоторые системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, что даёт возможность проинтерпретировать полученные результаты в терминах теории уравнений с частными производными. Помимо этого, результаты этой работы могут найти применение в кватернионном анализе: было бы интересным получить из комплекса Игона-Норкотта, являющегося минимальной резольвентой модуля М.п из [1], явную ацикличную резольвенту для пучка кватернионно-дифференцируемых функций — аналог комплекса Дольбо в комплексном анализе — и с её помощью дать для теоремы 3.1 и следствия 3.4 из [1] аналитические доказательства, которых не хватает авторам. Заметим также, что в работе [13] авторам удалось исследовать соответствующие модули при помощи базисов Грёбнера только путём компьютерных вычислений при «числе переменных» 2 и 3, так что, возможно, применение в той задаче методов коммутативной алгебры, аналогичных использованным в диссертации, позволит продвинуться дальше.
Глава 0 содержит предварительные сведения: разделы 0.1-0.3 посвящены коммутативной алгебре, а разделы 0.5-0.7 — теории конечномерных ассоциативных алгебр. В разделе 0.7 доказывается эквивалентность нескольких определений максимально центральной алгебры (предложение 0.7.1), из которых, по-видимому, пункты 2) и 7) являются новыми. Также приводится пример, показывающий, что пункт 7) равносилен остальным только в случае совершенного поля, а иначе накладывает более сильное ограничение. Три следующие главы посвящены доказательству теорем с соответствующими номерами.
Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 1999-2004 годах и опубликованы в работах [22], [23], [24], [25]. Автор хотел бы поблагодарить своего научного руководителя проф. Е. С. Голода за постоянное внимание и поучительные замечания, рецензента работы [23] за упрощение некоторых рассуждений, а также А. А. Герко за мотивацию доделать эту работу.
Обозначения
R — поле вещественных чисел,
С — поле комплексных чисел,
Ш — тело кватернионов,
?р — конечное поле из р элементов,
Мп(К) — кольцо матриц размера п х п с элементами из кольца К,
к — некоторое поле,
А — конечномерная ассоциативная алгебра с 1 над полем к,
к — алгебраическое замыкание поля k, t
~А = А ®к к,. .
/ь • • •) fd — базис А как векторного пространства над к,
R — к[жц,..., Xdi] — кольцо полиномиальных функций на аффинном пространстве А1,
Рм — матричное представление алгебры Л, соответствующее конечномерному Л-модулю М,
Id;- или Id^ — общий элемент алгебры А, координатное описание см. во введении, бескоординатное — в начале гл. 1,
Fj(-), или FiR(<), или F^(') — исследуемый функтор, координатное описание см. во введении, бескоординатное — в начале гл. 1; здесь R (или R со штрихами) обозначает кольцо многочленов, используемое в конструкции, а К (буква, отличная от R со штрихами) — конечномерную алгебру, над которой производится конструкция,
SlG — симметрическая степень (свободного модуля над коммутативным кольцом),
S(G) — симметрическая алгебра векторного пространства,
/\г G — внешняя степень (свободного модуля над коммутативным кольцом),
G* — двойственный модуль (свободного модуля над коммутативным кольцом),
dimM — размерность Крулля (модуля М над кольцом многочленов),
suppM — носитель модуля над коммутативным,кольцом,
dimkM — размерность векторного пространства М над к,
1{М) — длина модуля М над конечномерной алгеброй,
depth M — глубина градуированного модуля над кольцом многочленов в однородном максимальном идеале (см. раздел 0.1),
Q(K) — поле частных коммутативного кольца К,
k{p) = Q(K/p) — поле вычетов простого идеала р в коммутативном кольце К,-
pd M — проективная размерность модуля над кольцом многочленов,
Mi — однородная компонента степени i градуированного модуля М над кольцом многочленов;
М[г] — сдвиг градуировки градуированного модуля над кольцом многочленов (M[i]j = Mi+j),
M(t) 6 Z[[t]] — ряд Гильберта градуированного модуля М над кольцом многочленов,
ht / — высота идеала в коммутативном кольце,
Ass M — множество ассоциированных простых идеалов модуля над коммутативным кольцом,
arm M — аннулятор модуля,
Z(K) — центр кольца К,
К0 — противоположное кольцо кольца К (множество элементов и сложение те же, что и в К, а произведение ab в К0 равно произведению Ьа в К),
rad К — радикал конечномерной алгебры К,
Br(F) — группа Брауэра поля F,
Br(F, L) — подгруппа в Br(F), состоящая из классов центральных простых алгебр, расщепляющихся над расширением L поля F,
#2((3, К*) — вторые когомологии группы G с коэффициентами в мультипликативной группе поля К.
Глава Предварительные сведения
0.1 Глубина и коэн-маколеевость
В данной работе используются градуированные версии этих понятий, аналогичные локальным, рассмотренным в [20], где глубина называется гомологической коразмерностью. Изложение для градуированного случая можно найти в [5, §1.5], но мы всюду, где это возможно, предпочитали давать ссылки на имеющуюся литературу на русском языке.
Определение 0.1.1. ([11, Chap. 17, р. 423]; [20, гл. IV, А.4], М-последовательность.) Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — Л-модуль. Последовательность oi,..., ап ? R называется М-регулярной, если (ai,..., ап)М ф М и для г от 1 до п умножение на щ в модуле M/(ai,..., Oj_i)M инъективно.
Предложение 0.1.2. [11, Theorem 17.4] Пусть I — идеал в R и IM ф М. Тогда все максимальные (т.е. непродолжаемые) М-регулярные последовательности в I имеют одну и ту же длину.
Определение 0.1.3. ([11, 17.2, р. 429], [20, гл. IV, А.4, определение 6].) В условиях предыдущего предложения длина depth(/, M) любой максимальной М-регулярной последовательности в / называется глубиной М относительно /.
При рассмотрении глубины градуированных модулей над кольцом многочленов относительно идеала всех многочленов без свободного члена мы будем опускать указание идеала.
Предложение 0.1.4. ([6, Theorem 16.11], [11, Prop. 18.4, Cor. 18.6], [20, гл. IV, А.4, предложение 6 и далее].) Для любого конечно порождённого R-модуля М имеем:
M) ^ dim M, где dim M — размерность Крулля; depth(/, M) = min{t| Ext^iV, M) ф 0},
где, N — конечно порождённый модуль с носителем, равным замкнутому множеству, определённому идеалом I, так что при замене идеала I на его радикал глубина не меняется;
depth(/, M®N) = min{depth(/, M), depth(/, N)}-в короткой точной последовательности Q-+M-+N-+P-+Q
depth(/, N) ^ min{depth(/, M), depth(/, Р)}, depth(/, M) ^ min{dep,th(/, N), depth(7, P) +1}.
Предложение 0.1.5 (формула Ауслендера-Буксбаума). ([20, гл. IV, Г.1, предложение 17], [11, Exercise 19.8].) Для градуированного модуля М над кольцом многочленов R depth М + pd М = dim R.
Определение 0.1.6. ([20, гл. IV, Б], см. также [11, Chap. 18, р. 451].) Модуль М над R называется коэн-маколеевым, если для любого максимального идеала хп в R depth(m, M) = dim M. "*
Предложение 0.1.7. [6, Prop. 16.20] Пусть М — градуированный модуль над кольцом многочленов R. Тогда М коэн-маколеев 4=^ depth M — dimM (глубина берётся в однородном максимальном идеале).
Предложение 0.1.8. [20, гл. IV, Б.1] Пусть М коэн-маколеев. Тогда последовательность М/(а\,..., as)M ф 0 и
dim M/ (аь ... ,as)M — dimM — s .
(причём для коэн-маколеева М и любой последовательности длины s размерность при факторизации уменьшается не более, чем на s), и тогда фак-тормодуль М/{а\у... ,as)M коэн-маколеев.
0.2 Комплекс Игона-Норкотта
Определение 0.2.1. ([6, 2.С], ?>i(#);[ll, A2.6.1, р. 600], С1, комплекс Буксба-ума-Рима.) Комплексом Игона-Норкотта номер 1, построенным по (g x /)-матрице (р = ( G,
ранги которых обозначены соответствующими маленькими буквами, называется комплекс
U —> Г
свободных модулей, где к = / - д + 1, Fo = G, Fi = F, F» =
S'l~2(G!)* при г ^ 2, а дифференциалы устроены следующим образом. Пусть
/i,..., ff и gi,..., дд — базисы F и G соответственно, тогда
vi(/i) = Е^- ^(Ло л".• • л 4) = Е(-1)"Чо..,г.,94
к=0
(здесь и в следующей формуле знак ^ обозначает пропуск элемента в списке), где Mjlm..jg — (д х #)-минор матрицы (р, состоящий из столбцов ji,... ,jg в указанном порядке, а
g+i-2 i-2
joЛ •' • Л* • • •л 4-м-2
Замечание 0.2.2. В [11] определены аналогичные комплексы со всеми целыми номерами, но нам понадобится только этот частный случай. Для таких комплексов имеется следующий критерий точности.
Предложение 0.2.3. ([6, Theorem 16.15], см. также [7, Theorem], [11, Chap. 20.3].) Пусть R — коммутативное нётерово кольцо, М ф 0 — конечно порождённый R-модулъ,
А = (0 -> Fk ^ Fk^ -> ... -» F1 2> Fo) — комплекс конечно порождённых свободных R-модулей. Положим
— ранг (то есть порядок максимального ненулевого минора) pj в случае, когда этот комплекс точен,. Обозначим за 1г{у>) идеал, порожденный всеми (г х г)-минорами матрицы (р. Тогда A(g>j? M точен, если и только если для всех j от 1 до к 1Т{]){^Рз) содержит М-последовательность длины j или
Для комплекса Игона-Норкотта этот критерий заметно упрощается следующим фактом:
Предложение 0.2.4. [11, Theorem A2.10 b] Для любой матрицы <р в соответствующем комплексе Игона-Норкотта ранг
Таким образом, чтобы доказать точность комплекса вида А ®д М, где А — комплекс Игона-Норкотта, достаточно проверить, что в 1т(ц>) содержится М-последовательность длины / — g + 1: тогда по второму предложению и по предложению 0.1.4 это выполнено для всех Ir^(
0.3 Инварианты модулей над коммутативными кольцами
Определение 0.3.1. (ср. [11, Exercise A3.18]) Пусть R = @i>0Ri ~ нёте-рово градуированное кольцо, Rq = к - поле, R+ = фг>0^г — максимальный однородный идеал, R[n] — свободный Д-модуль со сдвигом градуировки (образующая имеет степень —п). Пусть М — конечно порождённый градуированный Я-модуль. Известно [11, 19.1; Theorem 20.2], что тогда существует единственная свободная резольвента
---> Ft ->---> Fi -» Fo -> М -> 0
над R такая, что Fi = ф • R[—j]bij, гомоморфизмы — однородные степени 0 и d(Fi) С R+F^i. Градуированные числа Бетти градуированного модуля М — это bij: числа Бетти bi — Yljbij — dimjcTorf (к, М). Если для некоторого г bij = 0 для всех j кроме jj, то будем говорить, что г-е число Бетти сосредоточено в степени ji-
Определение 0.3.2. [11, Exercises 10.12 10.13] Ряд Гильберта M(t) градуированного модуля М — это ^dimjiMif.
Тогда для конечно порождённого модуля М над кольцом многочленов M(t) = p(t)/(l - t)d[mM, где p(t) — многочлен и р(1) ф 0. Ряд Гильберта аддитивен в коротких точных последовательностях градуированных модулей и однородных гомоморфизмов степени нуль, что следует из аддитивности
размерности для однородных компонент каждой степени. В частности, если х — однородный неделитель нуля степени d относительно градуированного модуля М, то из точной последовательности
О -» M[-d] 4Мч М/хМ -> О
получаем, что (M/xM)(t) = (1 — td)M(t). Отсюда по индукции получается формула для ряда Гильберта фактормодуля по однородной регулярной последовательности, которой мы воспользуемся.
Определение 0.3.3. Кратность модуля М (относительно R+) — это е = р(1). Из определения видно, что кратность также аддитивна в коротких точных последовательностях. Нетрудно проверить, что для градуированных модулей это число совпадает с определенным в [20, гл. V, А.2] и [11, 12.1] (последнее определение было включено в формулировку теоремы 3).
Определение 0.3.4. (ср. [11, Exercise 21.14]) Коэн-маколеев тип коэн-ма-колеева модуля М — это t(M) = dimkExtJpthM(k, M), где k = R/R+ как R- модуль.
Предложение 0.3.5. Над кольцом многочленов R имеем t(M) — &ролм-
Доказательство. Над регулярным кольцом согласно [20, гл. IV, Г.1, ел. к теореме 5] имеется изоморфизм Torf(k,M) = Ext^mR~l(k,M), так что по формуле Ауслендера-Буксбаума получаем требуемое. D
0.4 Базисы Грёбнера
Поскольку теория базисов Грёбнера обычно излагается в литературе для идеалов, а не для подмодулей, как она использована в этой работе, мы напомним основные формулировки по [11, Chap. 15].
Пусть R — кольцо многочленов над полем k, a F — свободный Я-модуль с фиксированным базисом е\,..., es. Моном в модуле F это элемент вида mej, где т — моном в R (то есть произведение степеней переменных). Порядок на мономах в F — это линейный порядок, для которого если т\ > mi — мономы в F, а п ф 1 — моном в 5, то пт\ > птч > rri2- Любой такой порядок является полным (непустое подмножество имеет наименьший элемент).
Опишем несколько способов задавать такие порядки, которыми мы будем пользоваться. Пусть задан произвольный линейный порядок на наборе
переменных в R. Тогда на мономах в R можно задать лексикографический порядок: сравниваются показатели при старшей переменной, если они равны, то показатели при следующей и так далее. Можно задать степенной-лексикографический порядок: сначала сравнивается полная степень мономов, а при равенстве они сравниваются лексикографически. Так же можно поступить в кольце некоммутативных многочленов, где мономы — это слова, так что лексикографически они сравниваются побуквенно (в некоммутативном случае не любой порядок является полным, но такой является). Если задан порядок на мономах кольца и линейный порядок на базисных векторах модуля, то можно построить по ним порядок на мономах в модуле двумя способами: «моном важнее места», при котором сначала сравниваются коэффициенты в смысле порядка в кольце, а при равенстве — базисные векторы, и «место важнее монома», при сначала сравниваются базисные векторы, а при равенстве — коэффициенты.
Старший член элемента / = Ylaimi Е F, гДе а* Е к*, а шг- — различные мономы в F, — это <2omo5 ГДе гпо ~~ наибольший из rrii, входящих в запись. Если М С F — подмодуль, то модуль старших членов подмодуля М -— это подмодуль в F, порождённый старшими членами всех элементов М. Тогда образы мономов F, не лежащих в подмодуле старших членов для М, образуют базис F/M как векторного пространства, в частности, если М однородный, то у него и у подмодуля старших членов (а значит, и у факторов по ним) одинаковый ряд Гильберта [11, Theorem 15.26].
Пусть некоторый моном п, входящий в элемент g с коэффициентом а, делится на старший член т элемента / (домножая / на константу, можно считать, что коэффициент при т в / равен 1). Тогда редукция g при помощи / — это переход от g к g — a(n/m)f. Если ни один моном g не делится на старшие члены элементов /ь ...,/&, то говорят, что g не редуцируем при помощи /i,...,/fc. В замечании из раздела 0.7 используется вариант редукции для двусторонних идеалов в кольце некоммутативных многочленов: делимость означает, что п = ттщ, а редукция заменяет g на g — anifri2. Из полноты порядка следует, что невозможна бесконечная последовательность редукций.
Набор элементов 9i,...,gk модуля М называется базисом Грёбнера М для данного порядка, если старшие члены этих элементов порождают модуль старших членов для М (в однородном случае это условие можно проверить по функциям Гильберта). Тогда сами эти элементы порождают М.
Если т\ и шг — два монома в F, в которые входит один и тот же элемент
ej, то их наименьшее общее кратное т определяется очевидным образом. Если эти мономы являются старшими членами элементов f,g(zF соответственно, то S-форма, соответствующая паре (/, д), —- это элемент (ra/rai)/ — (т/т2)д 6 F.
Критерий Бухбергера [11, Theorem 15.8] утверждает, что набор элементов д\, • • • ,дк ? F является базисом Грёбнера порождённого ими подмодуля, если и только если любую S-форму, построенную по паре элементов из этого набора (у которых в старшие члены входит один и тот же базисный элемент F), можно превратить в нуль последовательностью редукций при помощи элементов этого набора, и тогда если применять к S-форме редукции при помощи gi в произвольной последовательности и на некотором шаге получится нередуцируемый при помощи д\,..., gj. элемент, то этот элемент будет нулевым.
0.5 Разложение конечномерных алгебр в прямую сумму
Конечномерная ассоциативная алгебра А раскладывается как левый модуль над собой в прямую сумму неразложимых левых идеалов [17, теорема 14.2], после чего разложение в прямую сумму подалгебр получается из этого группировкой слагаемых [17, §§54-55]. А именно, два таких идеала а и Ъ называются связанными [17, определение 55.1], если существует такая цепочка неразложимых левых идеалов а = oi, п2, ..., ап = Ь, что любые два соседние идеала имеют общий композиционный фактор. Прямые суммы классов связанности — блоки — образуют неразложимые двусторонние идеалы в Л., в прямую сумму которых она разлагается, и эти идеалы однозначно определены [17, теорема 55.2].
Мы применим этот результат в случае, когда неразложимые модули над алгеброй имеют лишь 1 тип композиционных факторов. Тогда каждый блок имеет лишь 1 тип композиционных факторов, то есть алгебра разлагается в прямую сумму алгебр, каждая из которых имеет лишь 1 простой модуль.
Напомним также описание разложений алгебры в прямую сумму в терминах идемпотентов [17, §25, упр. 2]: существует взаимно однозначное соответствие между разложениями алгебры в прямую сумму двусторонних идеалов и разложением единицы в сумму центральных ортогональных идемпотентов, т. е. идемпотентов, которые лежат в центре алгебры и попарные произведения которых равны 0. Соответствие естественно: идемпотентам сопоставля-
Список литературы
Цена, в рублях:
(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)
1425
Скачать бесплатно
23523.doc
Найти готовую работу
ЗАКАЗАТЬ
Обратная
связь:
Связаться
Вход для партнеров
Регистрация
Восстановить доступ
Материал для курсовых и дипломных работ
29.04.24
Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов
29.04.24
Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников
29.04.24
Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников
Архив материала для курсовых и дипломных работ
Ссылки:
Счетчики:
© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.